擴展歐幾里得算法(extgcd)

相信大家對歐幾里得算法,即輾轉相除法不陌生吧。

代碼如下：

int gcd(int a, int b){
    return !b ? gcd(b, a % b) : a;
}

而擴展歐幾里得算法，顧名思義就是對歐幾里得算法的擴展。

切入正題：

首先我們來看一個問題：

求整數x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我們很容易發現原方程是無解的。則方程ax + by = 1有正整數對解（x, y)的必要條件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互質。

此時正整數對解(x, y)可以通過擴展歐幾里得算法求得。

對於方程ax + by = gcd(a, b)；我們設解為x₁,  y₁

我們令a = b, b = a % b;

得到方程bx + a % by = gcd(b， a % b);

由歐幾里得算法可以得到gcd(a, b) = gcd(b, a % b);

代入可得：bx + a % b y = gcd(a, b)

設此方程解為x_2, y₂；

在計算機中我們知道： a % b = a - (a / b) * b;

代入方程化解得：

ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

與ax₁ + by₁ = gcd(a, b) 聯立，我們很容易得：

x₁ = y₂, y₁ = x₂ - (a / b)y₂;

然后我們就這樣可以解出來了。

等等我們似乎忘記一個東西了吧？對就是遞歸的終點。也就是最后方程的解x和y。

對於方程ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

當b = 0時，發現a * 1 + b * 0 = gcd(a, b)

則有x = 1, y = 0。

由此我們把ax + by = 1的其中一組解解出來了， 僅僅是其中一組解。

對於已經得到的解x₁, y₁;我們便可以求出通解。

我們設x = x₁ + kt；t為整數

帶入方程解得y = y₁ - a * k / b * t;

而我們要保證y也為整數的話必須保證a * k /b也為整數，我們不妨令k = b/gcd(a, b);

所以通解為：

x = x₁ + b / gcd(a, b) * t;

y = y₁ -  a / gcd(a, b) * t;

其中t為整數。

附上偽代碼：

int a, b, x, y;

int extgcd(int a, int b,int &x, int &y){
    int d = a;
    if(b != 0){
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else  x = 1, y = 0;
    return d;
}//d = gcd(a, b);

 擴展歐幾里得算法還可以用來解如下方程：

ax = mt + b，ax - mt = b

這種形式不就是前面的形式嗎？