擴展歐幾里得算法證明及求乘法逆元

擴展歐幾里得算法

已知整數a、b，擴展歐幾里得算法可以在求得a、b的最大公約數的同時，能找到整數x、y，使它們滿足貝祖等式：ax+by=gcd(a,b)

為什么一定存在貝祖等式呢，裴蜀定理如下：

設存在x，y使ax+by=d，d是ax+by取值中的最小正整數，d≠1。再設am+bn=e，則e≥d .若d不整除e，對e做帶余除法.必定存在p，r使e=pd+r.r<d則r=e-pd=（m-px）a+（n-py）b.存在整數m-px，n-py使ax+by=r<d，與d的最小性矛盾。所以d整除e.令m=1，n=0，則d整除a；同理d整除b.所以d=gcd(a,b)

下面給出擴展歐幾里得算法的證明

ax + by = gcd(a, b)
a'x' + b'y' = gcd(a', b') (其中a'= b, b' = a % b,)
我們要得到x,y與x',y'的關系
將a'= b, b' = a % b帶入第一個等式
得：bx' + (a%b)y' = gcd(a', b')
因為a%b = a - b[a/b] ([a/b],取a除以b的整數)所以ay' + b(x' - [a/b]y') = gcd(a', b') = gcd(a,b)(由輾轉相除得)
所以，x,y,x',y'的關系是：

x=y'
y=x' - [a/b] * y'

這樣就可以用遞推公式，不斷向下得到x',y'。

下面給出對應的python代碼

#擴展歐幾里得算法求線性方程的x與y
def exten_(a, b):
	if b == 0:
		return 1, 0
	else:
		k = a // b
		remainder = a % b		
		x1, y1 = get_(b, remainder)
		x, y = y1, x1 - k * y1			
	return x, y

擴展歐幾里得算法求乘法逆元

aa'=1(mod b) -> aa'=km+1 -> aa'-kb=1
令x=a' y=-k 即得ax+by=1，即可利用擴展歐幾里得算法求得a'