求證：歐幾里得算法（也叫輾轉相除法），即：
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
證明：
前提公式：
\(\left . \begin{array}{lcr} a = md \\ b = \ nd \\ m、n互質 \end{array} \right\} \Leftrightarrow d是a和b的最大公約數\)
設 gcd(a, b) = \(d_1\),
\(\Rightarrow \left . \begin{array}{lcr} a = md_1 \\ b = \ nd_1 \end{array} \right\} 其中，m、n互質\)
\(a = bq + r_1 \Rightarrow r1 = a - bq = md_1 - nqd_1 = (m - nq)d_1\)
只要證明 n 與 m - nq 互質.
下面用反證法來證明 n 與 m - nq 互質：
首先，假設 n 與 (m - nq) 不互質
不妨設 \(gcd(n, m - nq) = d_2\)(其中，\(d_2\) > 1)
\(\Rightarrow \left \{ \begin{array}{lcr} n = xd_2 \\ m - nq = yd_2 \end{array} \right . 其中，x、y互質\)
然后可得：\(m = (y + xq)d_2\) \(\Rightarrow\) m、n不互質，這與前面的條件矛盾，故假設不成立，所以 n 與 m-nq 互質，由前提公式得，\(d_1\)是 b 和 \(r_1\) 的最大公約數，又：\(d_1\) 是 a 和 b 的最大公約數，所以：
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，命題得證。