在數學中，輾轉相除法，又稱歐幾里得算法，是求最大公約數的算法。
輾轉相除法市一中遞歸算法，每一步計算的輸出值就是下一步計算時的輸入的值。設 \(k\) 表示步驟數（從 \(0\) 開始計數），算法計算過程如下。
每一步的輸入都是前兩次計算的非負余數 $r_{k - 1} $ 和 \(r_{k - 2}\)。因為每一步計算出的余數都在不斷減小，所以，\(r_{k-1} < r_{k - 2}\)。在第 \(k\) 步中，算法計算出滿足已下等式的商 \(q_k\) 和余數 \(r_k\)：
\(r_{k - 2} = q_k r_{k - 1} + r_k\)
其中 \(0 \le r_k < r_{k - 1}\)。也就是 \(r_{k - 2}\) 要不斷減去 \(r_{k - 1}\) 直到比 \(r_{k - 1}\) 小。
為求簡明，以下只說明如何求兩個非負整數 \(a\) 和 \(b\) 的最大公約數（負數的情況是簡單的）。在第一步計算時 \((k = 0)\)，設 \(r_{-2}\) 和 \(r_{-1}\) 分別等於 \(a\) 和 \(b\)，第二步 \((k = 1)\) 時計算 \(r_{-1}\)（即 \(b\)）和 \(r_0\)（第一步計算產生的余數）相除產生的商和余數，以此類推。整個算法可以用如下等式表示：
\(a = q_0 b + r_0\)
\(b = q_1 r_0 + r_1\)
\(r_0 = q_2 r_1 + r_2\)
\(r_1 = q_3 r_2 + r_3\)
\(\cdots\)
如果有 \(a < b\)，算法的第一步實際上會把兩個數字交換，因為這時 \(a\) 除以 \(b\) 所得的商會等於 \(0\)，余數 \(r_0\) 則等於 \(a\)。然后，算法的第二步便是把 \(b\) 除以 \(a\)，再計算所得之商和余數。所以，對於 \(k \ge 0\) 總有 \(r_k \le r_{k - 1}\)，即運算的每一步中得出的余數一定小於上一步計算的余數。
由於每一步的余數都在減小並且不為負數，必然存在第 \(N\) 步是 \(r_N\) 等於 \(0\) 使算法終止，\(r_{N - 1}\) 就是 \(a\) 和 \(b\) 的最大公約數。其中 \(N\) 不可能無窮大，因為在 \(r_0\) 和 \(0\) 之間只有有限個自然數。
正確性的證明：
輾轉相除法的正確性可以分成兩步來證明。在第一步，證明算法的最終結果 \(r_{N - 1}\) 同時整除 \(a\) 和 \(b\)。因為它是一個公約數，所以必然小於或等於最大公約數 \(g\)。在第二步，證明 \(g\) 能整除 \(r_{N-1}\)。所以 \(g\) 一定小於或等於 \(r_{N - 1}\)。兩個不等式只在 \(r_{N - 1} = g\) 時同時成立。具體證明如下。
證明 \(r_{N - 1}\) 同時整除 \(a\) 和 \(b\)：
余數 \(r_N = 0\)，\(r_{N - 1} \mid r_{N - 2}:\)
\(r_{N - 2} = q_N r_{N - 1}\)
因為 \(r_{N - 1} \mid r_{N - 2}\)，所以 \(r_{N - 1} \mid r_{N - 3}\)：
\(r_{N - 3} = q_{N - 1} r_{N - 2} + r_{N - 1}\)
同理可證 \(r_{N - 1}\) 可以整除所有之前步驟的余數，包括 \(a\) 和 \(b\),即 \(r_{N - 1}\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公約數，\(r_{N - 1} \le g\)。
證明最大公約數 \(g\) 能整除 \(r_{N - 1}\)：
根據定義，\(a\) 和 \(b\) 可以寫成 \(g\) 的倍數：\(a = mg、b = ng\)，其中 \(m\) 和 \(n\) 是自然數。因為 \(r_0 = a - q_0 b = mg -q_0 ng = (m - q_0 n)g\)，所以 \(g \mid r_0\)。同理可證 \(g \mid r_1 , r_2 , \cdots , r_{N - 1}\)。因為最大公約數 \(g\) 整除 \(r_{N - 1}\) 因而 \(g \le r_{N - 1}\)。
因為第一步的證明告訴我們 \(r_{N - 1} \le g\)，所以 \(g = r_{N - 1}\)。即：
\(g = \gcd(a , b) = \gcd(b , r_0) = \gcd(r_0 , r_1) = \cdots = \gcd(r_{N - 2} , r_{N - 1}) = r_{N - 1}\)
證畢。
在每個步驟 \(k\) 中，輾轉相除法都需要計算兩個數 \(r_{k - 1}\) 和 \(r_{k - 2}\) 的商 \(q_k\) 和余數 \(r_k\)：
\(r_{k - 2} = q_k r_{k - 1} + r_k\)
其中 \(0 \le r_k \le r_{k - 1}\)。除法的算法保證這樣的商和余數總是存在。自然數的除法算法還指出這樣的商和余數是惟一的，但這對輾轉相除法而言並非必要。
在歐幾里得最初的描述中，商和余數是通過連續的減法計算的，即從 \(r_{k - 2}\) 不斷減去 \(r_{k - 1}\) 直到小於 \(r_{k - 1}\)。一個更高效的做法是使用整數除法和模除來計算商和余數：
\(r_k \equiv r_{k - 2} \pmod{r_{k - 1}}\)