【轉載】http://blog.csdn.net/qq_34494458/article/details/52637193
一：歐幾里得算法（輾轉相除法）
基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
證明：
a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證
算法實現：
int gcd(int a,int b) { //遞歸算法 return b ? gcd(b, a%b) : a; } int gcd(int a, int b) { //迭代算法 while(b) { int c = a%b; a = b; b = c; } return a; }
二 擴展歐幾里得算法：
基本算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
證明：設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
2，ab!=0 時
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據朴素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。
//遞歸代碼 int exgcd(int a, int b, int&x, int&y) { if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int r = exgcd(b, a%b, y, x); int t = x; y = y - a/b*t; return r; } // 非遞歸算法 int exgcd(int m, int n, int &x, int &y) { int x1, y1, x0, y0; x0 = 1; y0 = 0; x1 = 0; y1 = 1; x = 0; y = 1; int r = m%n; int q = (m-r)/n; while(r) { x = x0 - q*x1; y = y0 - q*y1; x0 = x1; y0 = y1; x1 = x; y1 = y; m = n; n = r; r = m%n; q = (m-r)/n; } return n;
}
劉汝佳的：
void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) { if (!b) {d = a; x = 1; y = 0; } else {gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); } }
上面求出的 x（當a>b時）都是最接近0的正整數。（不知道為什么）
擴展歐幾里德算法的應用主要有以下兩個方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模線性方程（線性同余方程）與逆元；
（1）求解不定方程；
1.對於不定整數方程ax+by=m，若 m mod Gcd(a, b)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
證明：
首先擴展歐幾里德主要是用來與求解線性方程相關的問題，所以我們從一個線性方程開始分析。現在假設這個線性方程為a*x+b*y=m，如果這個線性方程有解，那么一定有gcd(a,b) | m，即a，b的最大公約數能夠整除m(m%gcd(a,b)==0)。證明很簡單，由於a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0，所以a*x+b*y肯定能夠整除gcd(a,b)，如果線性方程成立，那么就可以用m代替a*x+b*y，從而得到上面的結論，利用上面的結論就可以用來判斷一個線性方程是否有解。
2.ax+by=Gcd（a， b） 兩邊同時乘以 m/Gcd（a， b）得a（x*m/Gcd（a， b）)+b(y*m/Gcd（a， b）)=m;
上面已經列出找一個整數解的方法，在找到 a*x+ b*y = Gcd（a， b）的一組解x0,y0后，不定方程ax+by=m的一組解滿足 x = m(x0)/gcd ， y = m*(y0)/gcd；
所以通解為 x = m*(x0)/gcd + k*lcm/a , y = m*(y0)/gcd + k*lcm/b (其中k為任意整數)；
證明：
令a1=a/gcd(a,b)，b1=b/gcd(a,b)，m1=m/gcd(a,b)。那么x，y的一組解就是x0*m1，y0*m1，但是由於滿足方程的解無窮多個，在實際的解題中一般都會去求解x或是y的最小正數的值。以求x為例，又該如何求解呢？還是從方程入手，現在的x，y已經滿足a*x+b*y=m，那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m顯然也是成立的。可以得出x+n*b(n=…，-2，-1，0，1，2，…)就是方程的所有x解的集合，由於每一個x都肯定有一個y和其對應，所以在求解x的時候可以不考慮y的取值。取k使得x+k*b>0，x的最小正數值就應該是(x+k*b)%b，但是這個值真的是最小的嗎？？如果我們將方程最有兩邊同時除以gcd(a,b)，則方程變為a1*x+b1*y=m1，同上面的分析可知，此時的最小值應該為(x+k*b1)%b1，由於b1<=b，所以這個值一定會小於等於之前的值。在實際的求解過程中一般都是用while(x<0)x+=b1來使得為正的條件滿足，為了更快的退出循環，可以將b1改為b(b是b1的倍數)，並將b乘以一個倍數后再加到x上。
代碼：
//不定方程 void linear_equation(int a, int b, int c, int &x, int &y) { int d = exgcd(a, b, x, y); if (c%d) return ; int k = c/d; x *= k; y *= k; // 一組解 return ; }
相關題目：poj2115 poj2142 poj1061。
（2）求解模線性方程（線性同余方程）與逆元；
同余方程 ax≡b (mod n)對於未知數 x 有解，當且僅當 gcd(a,n) | b。且方程有解時，方程有 gcd(a,n) 個解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相當於求解方程 ax+ （-ny）= b, (x, y為整數)。
//ax = b (mod n) 即 (ax) mod n = b mod n
算法導論上有兩個定理：
定理一：設d = gcd(a, n), 假定對整數x', y', 有d = ax' + ny'， 如果d | b, 則方程ax = b(mod n)有一個解的值為x0, 滿足：、
x0 = x'(b / d)(mod n）
定理二：假設方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一個解， 則方程對模n恰有d個不同的解， 分別為： xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1
有了這兩個定理， 解方程就不難了。
代碼：
// 模線性方程 bool modular_linear_equation(int a, int b, int n) { int x, y, x0, i; int d = exgcd(a, n, x, y); if (b%d) return false; x0 = x*(b/d)%n; //特解 for(i = 0; i < d; i++) printf("%d\n", (x0 + i*(n/d))%n); return true; }
相關題目 hdu1576.
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，則方程只有唯一解。
在這種情況下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
這時稱求出的 x 為 a 的對模 n 乘法的逆元。
對於同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 為整數。這個可用擴展歐幾里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用擴展歐幾里德算法得出的 x 。
代碼：
ll inv(ll a, ll n) { ll d, x, y; d = exgcd(a, n, x, y); return (d == 1) ? (x%n + n)%n : -1; }
相關題目： hdu2115.