擴展歐幾里得算法及證明

一.擴展歐幾里得算法是求a*x+b*y=c的通解。

二.若a*x+b*y=c有解，設t=gcd(a,b),則c%t=0。

三.證明： 1.設a*x+b*y=t,當b=0時，t=a（為什么？因為gcd算法，if(b==0) return a;），則有a*x=a，易得x=1.

                2.設a*x1+b*y1=gcd(a,b),b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b);由於gcd(a,b)=gcd(b,a%b),聯立有：a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2。

                3.a%b=a-floor(a/b)*b;(floor表示向下取整）。

                4.將3的結論帶入2的等式：a*x1+b*y1=b*x2+[a-floor(a/b)*b]*y2;

                5.將a,b示為未知數：整理等式：a*x1+b*y1=a*y2+[x2-y2*floor(a/b)]*b;

                6.由5的等式：x1=y2, y1=x2-(a/b)*y2;(計算機整數除法為向下取整）；

                則得到擴展歐幾里得遞歸做法（實質為層層迭代，當b=0時，x=1，然后往上迭代）：

           

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);//獲得x2,y2;
    int temp=x;//存儲x2
    x=y;//x1=y2
    y=temp-(a/b)*x;//y1=x2-(a/b)*y2
    return ans;
}

　　前文已經說了，求出來的x,y有 a*x+b*y=gcd(a,b);

     易構造：a*(x+n*b)+b*(y+n*a)=gcd(a,b);

  則得到 x=x1+n*b        y=y1+n*a;

 但要注意：x,y並不是其方程所有解。

設 a1=a/gcd(a,b); b1=b/gcd(a,b);

則 a1*x+b1*y=1;

此時x=x+n*b,y=y+n*a為其通解

最小正整數解：

while(x<0)
{
x+=b1;
y+=a1;
}