擴展歐幾里得算法（含嚴謹證明）

要整擴展歐幾里得，我們肯定要學會歐幾里得算法，如果你沒有學過gcd(a,b)=gcd(b,a%b),那么打開這個鏈接：歐幾里得算法

好了，如果你已經學完了歐幾里得，那么就能默認你知道gcd(a,b)=gcd(b,a%b),那么什么是擴展歐幾里得，就是對於ax+by=gcd(a,b)，一定有一組整數解x，y（注意！不要用24和36這個例子卡我，x，y是整數，可以為負的！）

在證明之前，我們需要明確一種術學上的證明工具，數學歸納法：

　　　　最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

　　　　證明當n= 1時命題成立。

　　　　假設n=m時命題成立，那么可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）

　　　　然后命題得證。

　　　　而在遞歸式中也是如此。但是會有所不同

當b=0時，很明顯，這個定理時成立的，y取0，x取1，那么等式成立

現在只需要證，假設定理gcd(b,a%b)成立，那么定理在gcd(a,b)中也成立就行。

假設,b*x2+a%b*y2=gcd(b,a%b)時存在解x2,y2

那么，需要證明，a*x1+b*y1=gcd(a,b)存在解x1,y1,

我們令a=k*b+c,也就是c是a%b.

移項得：c=a-k*b.將這個式子代入到需要證明的式子：b*x2+(a-k*b)*y2=gcd(b,a%b)，再將其運用乘法分配律：b*x2+a*y2-k*b*y2=gcd(b,a%b)

再合並同類項：a*y2+b*(x2-k*y2)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

我們只需要讓x=y2,y=(x2-k*y2)不就行了？

得證，然后代碼實現過程也是怎么寫的。

（已知a、b，求一組解x、y使ax+by=gcd(a,b)）

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define REP(i,k,n)  for(int i=k;i<=n;i++)
#define in(a) a=read()
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())
        x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
int x,y,t,A,B,d;
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d){
    if(!b)  d=a,x=1,y=0;
    else  exgcd(b,a%b,x,y,d),t=x,x=y,y=t-a/b*y;
}
int main(){
    in(A),in(B);
    exgcd(A,B,x,y,d);
    cout<<d<<" "<<x<<" "<<y;
}
    

 最后，再說一下怎么通過擴展歐幾里得解不定方程ax+by=c.（x、y為整數）

首先，我們必須保證，c能整除gcd(a,b)要不然就無解

然后我們找特解：講a,b除以gcd(a,b)，得到a0,b0使他們互質，再用擴展歐幾里得求a0*x+b0*y=1的解x0,y0(這組解是特解)

然后通解就是x=x0+b0*t,y=y0+a0*t。