歐幾里得算法和擴展歐幾里得算法 數論基礎

　　這兩個算法可以說是OI里數學模塊最重要的基礎了（如果位運算不算數學的話）。

一.歐幾里得算法（Euclidean Algorithm）

　　模板水題：LOJ P1212　　（LOJ真是個好東西啊）

　　在學習一種算法前，我認為我們首先應該知道，這種算法是要解決什么問題的。

　　小學就已經學過了兩個數的最大公約數，而歐幾里得算法就是為了求出兩個數a、b的最大公約數的，這個最大公約數可以表示為gcd(a,b)。

　　歐幾里得算法又稱輾轉相除法，這個名字已經揭示了它的主要思想：輾轉相除！

　　它的函數代碼只有一行，簡單便捷，復雜度O(log n)：

 

    int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; }

 

　　不要小看這短短的一行代碼，其中蘊含了無盡的人生智慧（/滑稽）

　　因為代碼很短，所以算法的過程我就不贅述了，主要就是遞歸，可以從代碼中看出來。

　　如果趕時間（比如距離noip就差一天了），可以忽略掉證明只記代碼，但是我認為證明還是必要的，證明在這里：證明

 

二.擴展歐幾里得算法

　　首先我們要理解一個定理：

　　　　貝祖定理：若存在a、b是整數，則必存在整數x、y，滿足ax+by=gcd(a,b)。

　　證明在這里寫得比較清楚：證明

　　需要耐心理解。

　　貝祖定理

　　證明：

　　　　當 b=0 時，gcd(a,b)=a，此時 x=1 , y=0

　　　　當 b!=0 時，

　　　　　　設 ax₁+by₁=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx₂+(a%b)y₂

　　　　　　又因 a%b=a-a/b*b

　　　　　　則 ax₁+by₁=bx₂+(a-a/b*b)y₂

  ax₁+by₁=bx₂+ay₂-a/b*by₂

　　　　　　　　　　 =ay₂+bx₂-b*a/b*y₂

　　　　　　　　　　 =ay₂+b(x₂-a/b*y₂)

　　　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因為當 b=0 時存在 x , y 為最后一組解

　　　　而每一組的解可根據后一組得到

　　　　所以第一組的解 x , y 必然存在

　　　　證畢。

　　顯然，因為當b=0時，x=1，y=0，這時x和y是已知的，所以我們很容易想到通過遞歸來求解。

　　不斷返回下一層的解，來得到這一層的解，最終回溯回來，得解。

　　因為是借助歐幾里得算法進行回溯的，所以復雜度也是O(log n)。

　　基本理解擴展歐幾里得算法后，我們就可以來看看例題了。

 

　　例題：洛谷oj P1082

　　同余定理：給定一個正整數$m$，如果兩個整數$a$和$b$滿足$a-b$能夠被$m$整除，即$(a-b)/m$得到一個整數，那么就稱整數$a$與$b$對模$m$同余，記作$a\ ≡\ b\ (\ mod \ m \ )$。對模$m$同余是整數的一個等價關系。

　　其實就是$a\ mod\ m\ =\ b\ mod\ m$。

　　當$b>=1$時，因為$1\ mod\ b\ =\ 1$，所以$ax\ ≡\ 1(mod b)$就是$ax mod b=1$。其實就差不多是方程$ax\ +by\ =\ 1$，y可能為負數，所以我們在做exgcd后還要加個答案處理。

　　ac代碼：

#include <cstdio>
using namespace std;

long long a,b;

long long x,y;
inline void exgcd(long long a,long long b){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    else exgcd(b,a%b);
    long long x1=x;
    x=y,y=x1-a/b*y;
    return ;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b);
    while (x<0)
        x+=b;
    x%=b;
    printf("%lld",x);
    return 0;
}