[牛客網]A Number Theoretical Problem
題目鏈接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/207599
這貌似是一道求逆元的模板題，但是。。。
逆元是什么啊！！！擴展歐幾里得是什么啊！！！
於是我今天花了一下去看別人的博客，一臉懵逼的進去，一臉懵逼的出來。
其實有很多地方我都搞不明白，但也管不了那么多啦，把我搞明白的講出來就可以了
首先我們都知道歐幾里得算法（也叫輾轉相除法）能求出兩個數a,b的最大公約數，即gcd（a，b）=gcd（b，a%b）。
復雜度是o（ln n）
代碼實現如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b);
int main(){
int a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);
printf("%d %d\n",a,b);
printf("gcd=%d\n",gcd(a,b));
}
int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
int ans=gcd(b,a%b);
return ans;
}
再次基礎上的擴展歐幾里能快速求ax+by=gcd（a，b）一個二元一次方程的一個特解：
當歐幾里得算法遞歸到最后一層，即b==0時，那么gcd=a，這就很容易得到一個特解 x=1,y=0,即a*x+b*y=a*1+b*0=a=gcd
得到特解x=1，y=0，在通過遞歸的返回，再來一層一層推出原本 ax+by=gck,的一組特解
關於如何推出上一層的特解在這里我們把上一層的解x，y。當前層已知的解為x1，y1
在這里的一個結論是 a%b=a-（a/b）*b （這里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0）
由於上一層的gcd（a，b）等於當前層的gcd（b,a%b）
即gcd（b，a%b）=b*x1+（a%b）*y1
=b*x1+（a-(a/b）*b)*y1
=b*x1+ a*y1-(a/b)*b*y1
=a*（y1)+b*(x1-(a/b)*y1)
又因為gcd（a，b）=a*x+b*y，即這兩式子相等，通過比較得 x=y1,y=x1-(a/b)*y1。
int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1,y=0; \\ 一組特解
return a;
}
int ans=gcd(b,a%b,x,y);
int t=x; \\由最后一層的一組特解向上推
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return ans;
}
如果只能擴展歐幾里快速求ax+by=gcd（a，b）一個二元一次方程的一個特解，可能會說：“ 就這？？？”
這里我們就要知道擴展歐幾里快速求乘法逆元
然后就是逆元的定義
什么叫乘法逆元？
a*x≡1（mod n） （≡為同余符號，即（a*x）mod n==1 mod n）
這里，我們稱 x 是 a 關於 n 的乘法逆元
判斷逆元是否存在為gcd（a，n）是否等於1，等於即存在，否則不存在。
我們可以把他寫成一個表達式為：a*x+b*y=1（這里設b=n）
於是求逆元就要求這個二元一次方程組，則通過上面所說的擴展歐幾里得
但是有無數解，但一般會讓你求最小解x0，其實x0mod n就是最小解（這我真搞不明白）
考慮到x0可能是為負數，那我們先對其取模，x0mod n ，但x0還是負數，我們再加上其n，最后再取模。即 x0=（x0%n+n）%n
於是對於牛客上那道求逆元的模板題我們就迎刃而解了
代碼如下：
#include <iostream>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y);
int t;
LL y,p;
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%lld %lld",&y,&p);
LL x=0,k=0;
LL ok=exgcd(y,p,x,k);
if(ok==1) printf("%lld\n",(x%p+p)%p);
else printf("-1\n");
}
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
if(b==0){
x=1,y=0;
return a;
}
int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
LL t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return ans;
}