密碼學之模乘法逆元算法 歐幾里得拓展算法 逆元 python java實現

實現模乘法逆元算法

https://github.com/SKPrimin/HomeWork/tree/main/Cryptology/02gcd

一、實驗目的

通過本實驗使學生掌握最大公因子算法的實現、同余類中元素的乘法逆元的求解。

二、實驗原理

本實驗的准備知識包括最大公約數、模運算及其基本性質、互素等概念。

• 最大公約數：a和b的最大公約數是能夠同時整除a和b的最大正整數，記為：gcd(a,b)或(a,b)。

• 互素的（既約的）：滿足 gcd(a,b)=1 的 a 和 b。

• 同余（模運算）：設整數 a，b，n(n≠0)，如果 a-b 是 n 的整數倍（正的或負的），我們就說 a≡b(mod n)，讀作：a 同余於 b 模 n。

• 歐幾里得算法：又稱輾轉相除法，基於定理 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) (a>b)

• 擴展的歐幾里得算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd(a,b)表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y，使得 gcd(a,b) = ax+by。

• 乘法逆元素：假設 gcd(a,n)=1，則存在整數 s，t，使得 as+nt=1（由擴展的歐幾里得算法可知），則 as≡1(mod n)，因此 s 是 a(mod n)的乘法逆元素。且有：$a^{-1}$ ≡s(mod n)。

三、實驗內容

實現以下算法，加深掌握模運算的性質

• 歐幾里得算法

  計算 gcd(23456,987654)

• 擴展的歐幾里得算法

  計算 8787 (mod 91919)的乘法逆元素

實驗具體實現

python

如果我們使用python，由於有gmpy2庫的存在，自然是三句話讓python給為寫了十八個實驗

gmpy2實現

• gmpy2.mpz(n)初始化一個大整數
• gmpy2.invert(m,phi)求$mod(phi)$的逆元
• pow(m,e,n)求$c^{d}modn$
• gmpy2.is_prime(n)素數判斷
• gmpy2.gcd(a,b) 歐幾里得算法，最大公約數
• gmpy2.gcdext(a,b) 擴展歐幾里得算法
• gmpy2.iroot(x,n) x開n次根，$\sqrt[n]{x}$

import gmpy2

a, b = map(int, input("請輸入a,b").split())
print(gmpy2.gcd(a, b))
print(gmpy2.gcdext(a, b))

m,phi= map(int, input("請輸入m,phi").split())
print(gmpy2.invert(m,phi))

運行結果為

請輸入a,b>? 23456 987654
2
(mpz(2), mpz(-3158), mpz(75))
請輸入m,phi>? 8787 91919
71374

歐幾里得拓展算法返回一個三元素元組tuple (g,s,t)其中g == gcd(a,b) and g == a*s + b*t

當然這只是調用庫，並不能體現算法，但由於gmpy2的源代碼無法步入，這里對歐幾里得算法做了推算，運行結果也是正確的

def gcdext(a: int, b: int) -> (int, int, int):
    # 擴展歐幾里得算法 tuple (g,s,t)
    s, t, x, y = 1, 0, 0, 1  # 初始化s,t,x2,y2
    while b:
        q, r = divmod(a, b)
        a, b = b, r  # 求最大公約數
        s, t, x, y = x, y, s - q * x, t - q * y  # 輾轉相除
    # 返回元組(g,s,t)，使 g == a*s + b*t
    return a, s, t


def gcd(a: int, b: int):
    # 歐幾里得算法求最大公約數
    while a != 0:
        a, b = b % a, a
    return b


def invert(m:int, phi:int):
    # 求逆元，實際上調用拓展歐幾里得函數
    _, mi, _ = gcdext(m, phi)
    return mi if mi > 0 else mi + phi


if __name__ == "__main__":
    a, b = map(int, input("請輸入a,b").split())
    print(gcd(a, b))
    print(gcdext(a, b))

    m, phi = map(int, input("請輸入m,phi").split())
    print(invert(m, phi))

java

public class Gcd {
    int a, b;
    private int g, s = 1, t = 0, m, n; //此處使用私有變量，保護g,s,t

    public Gcd() { //空構造器
    }

    public Gcd(int a, int b) { //全參構造器
        this.a = a;
        this.b = b;
        m = a; //存儲a,b以備不時之需
        n = b;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Gcd{" + "a=" + m + ", b=" + n + ", g=" + g + ", s=" + s + ", t=" + t + '}';
    }

    static int getG(int a, int b) { //本處使用了靜態類，即可以不用創建實例，直接 Gcd.getG(a,b)調用
        if (b == 0) { //mod(a,b) = 0,則 此時的a就是最大公約數
            return a;
        }
        int r = a % b; // 輾轉相除法
        return getG(b, r); //遞歸
// return b==0?a:getG(b,a%b); // 三元運算符版本,一行解決
    }

    void getGst() {
        int x = 0, y = 1, q, r, sy, ty;
        while (b != 0) { //輾轉相除
            q = a / b; // 將 ab的整數倍存儲起來
            r = a % b;// 將 ab的余數存儲起來
            a = b;
            b = r;

            sy = s; //將 s,t原始值存儲起來
            ty = t;
            s = x; // 輾轉交換
            t = y;
            x = sy - q * x;
            y = ty - q * y;
        }
        g = a;
    }

    public int getS() { //s即逆元
        return s > 0 ? s : s + m; //如果算出的s小於0，就變為正數
    }
}


class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Gcd gcd = new Gcd(23456, 987654);
        gcd.getGst();
        System.out.println(gcd.toString());

        //使用靜態類可以直接調用
        System.out.println(Gcd.getG(23456, 987654));

        Gcd gcd2 = new Gcd(8787, 91919);
        gcd2.getGst();
        System.out.println(gcd2.getS());
    }
}

運行結果

Gcd{a=23456, b=987654, g=2, s=-3158, t=75}
2
71374