記：\(Z_m=\{0,1,2,...,m-1\}\)
定義：設\(A\)是定義在集合\(Z_m\)上的\(n\)階方陣，若存在一個定義在\(Z_m\)上的方陣\(B\)，使得\(A*B=B*A=E(mod\ \ p)\)
則稱\(A\)模\(p\)可逆，\(B\)為A的模\(p\)逆矩陣，記為
\(B=A^{-1}(mod\ \ p)\)定義在集合\(Z_m\)上的\(n\)階方陣\(A\)模\(p\)可逆的充要條件是：\(p\)和\(det(A)\)無公共素因子，即\(p\)與\(det(A)\)互素。\(gcd(p,det(A))==1\)
\(det(A)\)：矩陣\(A\)對應行列式的的值
\[A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{13} & a_{14} \\ \end{matrix} \right] \]
對應的行列式是
\[|A|=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{13} & a_{14} \\ \end{matrix} \right| \]
問題:
如何計算\(A^{-1}(mod\ \ 26)?\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|*A^*}\ \ \ \ \ \ (A^*為A的伴隨矩陣)\)
- 設\(B=kA^*\)為\(A\)在模\(26\)情況下的逆，其中\(k\)為待定系數
\(BA=k*|A|*E\)
\(BA=E(mod\ \ \ 26)<-->k*|A|=1(mod\ \ \ 26)<-->k=|A|^{-1}(mod\ \ \ 26)\)
習題：
在\(Z_{26}\)上，矩陣$$M=\left[\begin{matrix}4 & 5 \
5 & 19 \
\end{matrix}
\right] $$有模\(26\)的乘法逆元嗎？如果有，找到它。\(|M|=4*19-5*5=51\)
伴隨矩陣：\[M^*=\left[\begin{matrix}19 & -5 \\ -5 & 4 \\ \end{matrix} \right] \]\(M^{-1}(mod\ \ \ 26)=(|M|^{-1}(mod\ \ \ 26)*M^*)(mod\ \ \ 26)<-->M^{-1}=25*M^*(mod\ \ \ 26)=\)
\[\left[\begin{matrix}19*25\%26 & -5*25\%26+26 \\ -5*25\%26+26 & 4*25\%26 \\ \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}7 & 5\\ 5 & 22 \\ \end{matrix} \right]\]
