逆元（數論倒數）【密碼學筆記】

數論倒數，又稱逆元

取模

對於取模，有一下一些性質：

但是唯獨除法是不滿足的：

為什么除法錯的呢？很好證明：

而對於一些題目，我們必須在中間過程中進行求余，否則數字太大，電腦存不下，那如果這個算式中出現除法，我們就需要逆元了。

逆元

定義：

我們知道，如果a*x = 1，那么x是a的倒數，x = 1/a

而在數論問題中，大部分情況都有取模，所以問題就變成了：

這時x在數值上就不一定等於我們常規意義上的1/a了，我們可以理解為要求在0,1,2……p-1之間找一個數，是的這個數和a相乘后再取模p，得到的結果為1。

現在就要在回到剛才的問題了，除以一個數等於乘上這個數的倒數，在除法取余的情況下，就是乘上這個數的逆元，即：

這樣就把除法，完全轉換為乘法了。

逆元的求解

對於逆元的求解，如果n較小的話，是容易算出來的，例如，求3在模26下的逆元：

但是當n非常大的時候，就需要引入一個算法來計算

（1）擴展歐幾里得算法（extend_gcd）

對於逆元的表達式可以做一些變換：

 

 

 當gcd(a,n)=1時，代入extend_gcd(a,n,x,y)，得到的非負的x值，就是a對模n的逆元。

算法實現與證明

也就是說，我們得到了一個和gcd算法中，gcd(m,n)=gcd(n,m%n)相似的恆等式

 什么意思呢？舉個例子，就是

 如果想要x為正值，根據

 只再做一步：

if (x < 0) {
    x += b; y -= a;
}

擴展：

完整算法：

int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int q = extend_gcd(b, a % b, x, y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return q;
}

（2）費馬小定理

如果p是一個質數，並且gcd(a,p)=1

兩邊同除以 a

所以

用快速冪求一下，復雜度O(logn)

（3）不知道叫啥

當p為質數時有

證明：

寫成算法就是一個遞歸，到1為止，因為1的逆元就是1

int inv(int t, int p) {
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}

這個方法復雜度是O(n)，但並不是說比前兩個差，它可以在O(n)的復雜度內算出n個數的逆元，上面的算法加一個記憶性搜索就行了

int inv(int t, int p) {
    return INV[t] = t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}