擴展歐幾里得與乘法逆元

一。歐幾里得算法

歐幾里德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

遞歸實現：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

優化

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

迭代實現

int Gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
    　　int r = b;
    　　b = a % b;
    　　a = r;
    }
    return a;
}

二.擴展歐幾里德算法

基本算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

我們觀察到：歐幾里德算法停止的狀態是： a= gcd ， b = 0 ，那么，這是否能給我們求解 x y 提供一種思路呢？因為，這時候，只要 a = gcd 的系數是 1 ，那么只要 b 的系數是 0 或者其他值（無所謂是多少，反正任何數乘以 0 都等於 0 但是a 的系數一定要是 1），這時，我們就會有： a*1 + b*0 = gcd

當然這是最終狀態，但是我們是否可以從最終狀態反推到最初的狀態呢？

假設當前我們要處理的是求出 a 和 b的最大公約數，並求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我們已經求出了下一個狀態：b 和 a%b 的最大公約數，並且求出了一組x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么這兩個相鄰的狀態之間是否存在一種關系呢？

我們知道： a%b = a - (a/b)*b（這里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我們可以進一步得到：

        gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

               = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

               = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

    對比之前我們的狀態：求一組 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否發現了什么？

    這里：

        x = y1

        y = x1 – a/b*y1

    以上就是擴展歐幾里德算法的全部過程，依然用遞歸寫：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return ans;
}

這就是理論部分，歐幾里德算法部分我們好像只能用來求解最大公約數，但是擴展歐幾里德算法就不同了，我們既可以求出最大公約數，還可以順帶求解出使得：

a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

擴展歐幾里德算法的應用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模線性方程（線性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

其中擴展歐幾里得算法一個重要的應用在求解形如 a*x +b*y = c 的特解，比如一個數對於另一個數的乘法逆元

 

三。乘法逆元

什么叫乘法逆元？

    

    這里，我們稱 x 是 a 關於 m 的乘法逆元

    這怎么求？這里我們利用擴展歐幾里得算法，等價為： a*x + m*y = 1

    我們發現當gcd(a , m) != 1 的時候是沒有解的，這也是 a*x + b*y = c 有解的充要條件： c % gcd(a , b) == 0

    一般，我們能夠找到無數組解滿足條件，但是一般是讓你求解出最小的那組解，怎么做？我們求解出來了一個特殊的解 x0 那么，我們用 x0 % m其實就得到了最小的解了。為什么？

可以這樣思考：

     x 的通解不是 x0 + m*t 嗎？

    那么，也就是說， a 關於 m 的逆元是一個關於 m 同余的，那么根據最小整數原理，一定存在一個最小的正整數，它是 a 關於m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之間的，而且只有一個，這就好解釋了。

    但是，由於問題的特殊性，有時候我們得到的特解 x0 是一個負數，還有的時候我們的 m 也是一個負數這怎么辦？

    當 m 是負數的時候，我們取 m 的絕對值就行了，當 x0 是負數的時候，x0% m 的結果仍然是負數（在計算機計算的結果上是這樣的，雖然定義的時候不是這樣的），這時候，我們仍然讓 x0 對abs(m) 取模，然后結果再加上abs(m) 就行了，於是，我們不難寫出下面的代碼求解一個數 a 對於另一個數 m 的乘法逆元：

 

int cal(int a,int m)
{
    int x,y,ans,gcd;
    gcd=exgcd(a,m,x,y);
    if(1%gcd!=0)///無解
    {
        return -1;
    }
    x=x*1/gcd;
    m=abs(m);
    ans=x%m;
    if(ans<=0)
    {
        ans=ans+m;
    }
    return ans;
}

 

 

這里給出一道例題作為乘法逆元的模板

給出2個數M和N(M < N)，且M與N互質，找出一個數K滿足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多個滿足條件的，輸出最小的。

 Input

輸入2個數M, N中間用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

輸出一個數K，滿足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多個滿足條件的，輸出最小的。

Sample Input

2 3

Sample Output

2

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)///遞歸結束條件
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}

int main()
{
    int n,m;
    int x,y;
    scanf("%d%d", &m,&n);
    exgcd(m,n,x,y);
    while(x<0)
    {
        x=x+n;
    }
    printf("%d\n",x);
    return 0;
}