gcd模板（歐幾里得與擴展歐幾里得、拓展歐幾里得求逆元）

gcd（歐幾里得算法輾轉相除法）：

gcd （ a ， b ）= d ；

即 d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；以此式進行遞歸即可。

之前一直愚蠢地以為輾轉相除法輸進去時 a 要大於 b ，現在發現事實上如果 a 小於 b，那第一次就會先交換 a 與 b。

#include<stdio.h>
#define ll long long 

ll gcd(ll a,ll b){  5     return b==0?a:gcd(b,a%b);  6 }  7 
int main(){  9  ll a,b; 10     while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){ 11         printf("%lld\n",gcd(a,b)); 12     // printf("%lld\n",a>b?gcd(a,b):gcd(b,a));
 } 14     return 0; 15 }

在原基礎上改成循環之后的GCD：

 

ll gcd(ll a,ll b){
    for(;a>0&&b>0;a>b?a%=b:b%=a);
    return a+b;
}

這個代碼是針對非負數范圍的，但除此之外我還糾結了很久，在非負數的范圍內（long long內）與普通遞歸的gcd對拍並沒有發現問題，一直做題的時候也沒有發現有什么問題，但是刷到一題UVA10325，經測試數據中沒有給0或負數，但是用這個WA用遞歸版的AC，並不知道為什么。

所以……還是庫函數/遞歸保平安吧

 

拓展歐幾里得：

當 gcd （ a ， b ）= d 時，求絕對值和最小的 x ， y 使得 x * a + y * b = d ；

d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；

設：

x1 * a + y1 * b = d ；　　　　　　　　①

x2 * b + y2 * （ a mod b ） = d ；　　 ②

因為 a mod b = a - （ a / b ）* b；　　③（除法為整除）

將③代入①整理得：

y2 * a + （ x2 - （ a / b ） * y2 ） * b = d；　④

由①和④整理得：

x1 = y2 ；

y1 = x2 - （ a / b ） * y2；

將此結論代入遞歸函數既得。

#include<stdio.h>
#define ll long long

void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){  5     if(!b){d=a;x=1;y=0;}  6     else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}  7 }  8 
int main(){ 10  ll a,b,d,x,y; 11     while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){ 12  gcd(a,b,d,x,y); 13         printf("%lld*%lld+%lld*%lld=%lld\n",a,x,b,y,d); 14  } 15     return 0; 16 }

 

拓展歐幾里得求逆元：

當 a 與 b 互素時有 gcd （ a ， b ） = 1 ；

即得： a * x + b * y = 1；

a * x ≡ 1 （ mod b ）；

由於 a 與 b 互素，同余式兩邊可以同除 a ，得：

1 * x ≡ 1 / a （mod b）；

因此 x 是 a mod b 的逆元；

 

遞歸方法計算：

#include<stdio.h>
#define ll long long

ll gcd(ll a,ll b,ll &d,ll& x,ll& y){
    if(!b){
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return x;
    }
    else{
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
    return x;
}

int main(){
    ll a,b,d,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        x=gcd(a,b,d,x,y);
        printf("a:%lld->x:%lld\n",a,x);
//        printf("a:%lld->x:%lld\nb:%lld->y:%lld\n",a,x,b,y);
    }
    return 0;
}

 

循環方法計算：

#include<stdio.h>

int main(){
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
        int x=1,y=0,t;

        {
            if(a!=1&&b!=1){
                int b0=b,q;
                while(a>1){
                    q=a/b0;
                    t=b0;b0=a%b0;a=t;
                    t=y;y=x-q*y;x=t;
                }
                if(x<0)x+=b;
            }
        }

        printf("a:%d->x:%d\n",a,x);
    }
    return 0;
}

 

ll gcd(ll a,ll b){
    if(a!=1&&b!=1){
        int b0=b,q,t,x=1,y=0;
        while(a>1){
            q=a/b0;
            t=b0;b0=a%b0;a=t;
            t=y;y=x-q*y;x=t;
        }
        if(x<0)x+=b;
    }
    return x;
}