詳解擴展歐幾里得算法（擴展GCD）

淺談擴展歐幾里得（擴展GCD）算法

本篇隨筆講解信息學奧林匹克競賽中數論部分的擴展歐幾里得算法。為了更好的閱讀本篇隨筆，讀者最好擁有不低於初中二年級（這是經過慎重考慮所評定的等級）的數學素養。並且已經學會了學習這個算法的前置知識：歐幾里得算法。

對於對歐幾里得算法還有知識模糊的讀者，請不要擔心，這里為你准備了前導知識講解，請移步至本蒟蒻的另兩篇博客：

淺談GCD

求最大公約數的方式

裴蜀定理

裴蜀定理的概念及證明

因為翻譯版本的不同，這個定理可能還會被叫做貝祖定理、\(B\acute{e}zout\)定理等。

裴蜀定理是這樣被描述的：

\[\forall a,b\in Z\,\,,\,\,\exists (x,y)\in Z \]

滿足：

\[ax+by=gcd(a,b) \]

文字描述是這樣的：對於任意的整數\(a,b\)，都存在一對整數\(x,y\)，使得\(ax+by=\gcd(a,b)\)成立。

證明：

來看歐幾里得算法求解過程的這個函數：

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

可以看出，這是一個遞歸求解的函數。在函數遞歸到最后的時候，存在\(b=0\)，不管\(a\)是什么，這時顯然有一對整數\(x=1,y=0\)來使得：

\[a\times 1+0\times 0=\gcd(a,0) \]

（ps:0和任何數的最大公約數都等於原數，可以從最大公約數和約數的定義得知）

那么，我們通過這個遞歸的實現過程來進行回溯的模擬。當\(b>0\)，則程序還可以繼續往下走：\(\gcd(b,a\%b)=\gcd(a,b)\)。這時假設存在一對整數\(x,y\)，使得其一定會滿足\(b\times x+(a\%b)\times y=\gcd(b,a\%b)\)， 因為\(a\%b=a-b\lfloor a/b\rfloor\)，所以有以下的推導：

\[b\times x+(a\%b)\times y=\gcd(b,a\%b)=bx+(a-b\lfloor a/b\rfloor)y=ay-b(x-\lfloor a/b\rfloor y) \]

這個時候令\(x^{'}=y,y^{'}=x-\lfloor a/b\rfloor y\)，再結合一開始的原式子，就得出：

\[ax^{'}+by^{'}=\gcd(a,b) \]

因為歐幾里得算法的實現是遞歸的，而我們已經推出其中一個遞歸過程的實現，那么其他的遞歸過程就可以借助數學歸納法，一層層地向上推，必然會得出最終結論。

證畢。

裴蜀定理的應用

裴蜀定理：

\[ax+by=\gcd(a,b) \]

那么可以推出：如果一個數\(m\)滿足：\(ax+by=m\)，那么這個\(m\)一定是\(\gcd(a,b)\)的倍數。

那么對於一個經典方程\(ax+by=1\)，利用裴蜀定理，我們有：\(\gcd(a,b)=1\)，即\(a,b\)一定互質。

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擴展歐幾里得算法

在介紹擴展歐幾里得算法之前，我想首先介紹它的應用：

1、求解不定方程

2、求解模的逆元

3、求解線性同余方程

為什么它能應用到這幾個方面呢？回到裴蜀定理：

\[ax+by=m \]

對於這個不定方程，如果存在一組合法的解\((x,y)\)，那么一定會有\(\gcd(a,b)|m\)，即\(m\)是\(\gcd(a,b)\)的倍數。那么現在我不僅想知道到底有沒有解，而是想知道在有解的情況下，這個解到底是多少。

這就是求解不定方程的過程。這個解決的算法就叫做擴展歐幾里得算法。

可以發現，我們求解不定方程其實就是要求解一組合法的\((x,y)\)，那么根據裴蜀定理的證明（基於歐幾里得算法，采用遞歸的數學歸納），可以發現\(x,y\)的互相推導的關系。

這種采取遞歸來求解\(x,y\)的方法就叫做擴展歐幾里得算法。

擴展歐幾里得算法的實現：

先放板子：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int k=x;
    x=y;
    y=k-a/b*y;
    return d;
}

擴展歐幾里得算法的實現基於裴蜀定理的證明。實質上相當於在做歐幾里得算法（普通GCD）的時候對不定方程\(ax+by=m\)的\(x,y\)也做了更改。所以經過擴展歐幾里得算法處理過的\(x,y\)就已經是一組合法的可行解了。

這里需要注意一個細節，因為擴展GCD需要對\(x,y\)本身進行修改，所以需要在傳參數的時候加取址符，這樣能保證被修改。