歐幾里得算法與擴展歐幾里得算法_C++

先感謝參考文獻：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

注：以下討論的數均為整數

 

一、歐幾里得算法（重點是證明，對后續知識有用）

　　歐幾里得算法，也叫輾轉相除，簡稱 gcd，用於計算兩個整數的最大公約數

　　定義 gcd(a,b) 為整數 a 與 b 的最大公約數

　　引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

　　證明：

　　　　設 r=a%b , c=gcd(a,b)

　　　　則 a=xc , b=yc , 其中x , y互質

　　　　r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c

　　　　而b=yc

　　　　可知：y 與 x-py 互質

　　　　證明：

              　　假設 y 與 x-py 不互質

              　　設 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因為互質）

             　　 將 y 帶入可得

              　　x-pnk=mk

              　　x=(pn+m)k

             　　 則 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc

              　　那么此時 a 與 b 的最大公約數為 kc 不為 k

              　　與原命題矛盾，則 y 與 x-py 互質

　　　　因為 y 與 x-py 互質，所以 r 與 b 的最大公約數為 c

　　　　即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)

　　　　得證

　　當a%b=0時，gcd(a,b)=b

　　這樣我們可以寫成遞歸形式

inline int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

 

　　模板題：http://codevs.cn/problem/1212/ 

 

二、擴展歐幾里得算法

 　　擴展歐幾里得算法，簡稱 exgcd，一般用來求解不定方程，求解線性同余方程，求解模的逆元等

　　引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

　　證明：

       　　當 b=0 時，gcd(a,b)=a，此時 x=1 , y=0

       　　當 b!=0 時，

　　       設 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

       　　又因 a%b=a-a/b*b

       　　則 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因為當 b=0 時存在 x , y 為最后一組解

　　　　而每一組的解可根據后一組得到

　　　　所以第一組的解 x , y 必然存在

　　　　得證

　　根據上面的證明，在實現的時候采用遞歸做法

　　先遞歸進入下一層，等到到達最后一層即 b=0 時就返回x=1 , y=0

　　再根據 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 與 y’ 為下一層的 x 與 y ) 得到當層的解

　　不斷算出當層的解並返回，最終返回至第一層，得到原解

inline void exgcd(int a,int b)
{
    if (b)
        {
            exgcd(b,a%b);
            int k=x;
            x=y;
            y=k-a/b*y;
        }
    else y=(x=1)-1;
}

 

 

 

三、exgcd 解不定方程（使用不將a與b轉為互質的方法）

　　對於 ax+by=c 的不定方程，設 r=gcd(a,b)

　　當 c%r!=0 時無整數解

　　當 c%r=0 時，將方程右邊 *r/c 后轉換為 ax+by=r 的形式

　　可以根據擴展歐幾里得算法求得一組整數解 x0 , y0

　　而這只是轉換后的方程的解，原方程的一組解應再 *c/r 轉變回去

　　（如 2x+4y=4 轉換為 2x+4y=2 后應再將解得的 x , y 乘上2）

　　則原方程解為 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r

　　通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 為整數

　　證明：

　　　　將 x , y 帶入方程得

　　　　ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c

　　　　ax+by=c

　　　　此等式恆成立

　　　　得證

　　這里 b/r 與 a/r 為最小的系數，所以求得的解是最多最全面的

　　證明：

　　　　為了推出證明中的 ax+by=c ，且想達到更小的系數，只能將 b/r 與 a/r 同除以一個數 s

　　　　而 b/r 與 a/r 互質，且 s 為整數，則 s=1 ，不影響通解

　　　　那么 b/r 與 a/r 就為最小的系數

　　　　得證

 

　　模板題：http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5917173.html

 

 

四、exgcd 解線性同余方程

　　關於 x 的模方程 ax%b=c 的解

　　方程轉換為 ax+by=c 其中 y 一般為非正整數

　　則問題變為用 exgcd 解不定方程

　　解得 x1=x0*c/r

　　通解為 x=x1+b/r*t

　　設 s=b/r （已證明 b/r 為通解的最小間隔）

　　則 x 的最小正整數解為 (x1%s+s)%s

　　證明：

　　　　若 x1>0，則 (x1%s+s)%s=x1%s%s+s%s=x1%s=x1-ts (t∈N)

　　　　若 x1<0，因在 C++ 里 a%b=-(-a%b)<0 (a<0 , b>0)  如 -10%4=-2

　　　　　　　　 則 (x1%s+s)%s=(-(-x1%s)+s)%s=(-(ts-x1)+s)%s=ts-x1 (t∈N)

　　　　即為 x1 通過加或減上若干個 s 后得到的最小正整數解

　　　　得證

　　亦可偽證 x1<0 的情況：設 x1=-5 , s=2

　　　　　　　　　　　　  則 (x1%s+s)%s=(-5%2+2)%2=(-1+2)%2=3%2=1

　　　　　　　　　　　　  即為 x1 加上 3 個 s 后的到的最小正整數解

 

　　模板題：http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5951091.html

 

　

 

 

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