除法求逆元(擴展歐幾里德和費馬小定理)

我們都知道除法不滿足取模，那么我們可以求模的逆元來進行求結果，既然乘法可以取模，如果這個數除以一個數，那么我們可以讓他乘以一個數使得和除以那個數的結果相同，那么乘的這個數就是那個數的乘法逆元。下面摘自Acdreamer的博客

今天我們來探討逆元在ACM-ICPC競賽中的應用，逆元是一個很重要的概念，必須學會使用它。

 

對於正整數和，如果有，那么把這個同余方程中的最小正整數解叫做模的逆元。

 

逆元一般用擴展歐幾里得算法來求得，如果為素數，那么還可以根據費馬小定理得到逆元為。

 

推導過程如下

求現在來看一個逆元最常見問題，求如下表達式的值（已知）

 

           

 

當然這個經典的問題有很多方法，最常見的就是擴展歐幾里得，如果是素數，還可以用費馬小定理。

 

但是你會發現費馬小定理和擴展歐幾里得算法求逆元是有局限性的，它們都會要求與互素。實際上我們還有一

種通用的求逆元方法，適合所有情況。公式如下

 

         

 

現在我們來證明它，已知，證明步驟如下

 

         

 

 

 

 

下面是兩個求乘法逆元的模板

輾轉相除法求逆元(求a對於mod的逆元, 要求a與mod互素)

 

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll t = x % mod;
    x = y % mod;
    y = ((t - a / b * y) % mod + mod) % mod;
    return r;
}

求2對於1e9+7的逆元就是 exgcd(2, 1e9+7, x, y),其中x的值就是inv2，

 

費馬小定理求逆元(求a對於mod的逆元，要求mod為素數)

ll power_mod(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
inv2 = power_mod(a, mod - 2, mod);