費馬小定理 入門

費馬小定理新手入門+總結

縱有疾風起

前言

最近新手的我做了幾個和快速冪有關的題目，發現他們還經常和費馬小定理聯系在一起，所以有必要寫一篇文章來總結一下費馬小定理，以便后面更好的學習。

內容介紹

費馬小定理是數論中的一個重要定理，再1636年提出。

​核心：如果p是一個質數，並且整數a不是p的倍數，則有公式：\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)。

定理應用

那么問題來了，這個定理該怎么應用呢？

這里舉一個題目來進行說明。

Sum HDU - 4704

這個題目大體的意思是說輸入一個數N，求N被拆分成若干個正整數的結果，注意 1+2 和 2+1算作兩種。N很大，需要使用數組進行存儲。

輸出的結果可能很大，需要mod 1e9+7，注意這個數是一個質數，正好符合費馬小定理的要求。

題目解答

1. 隔板原理+組合數求和公式

   \(1-N\)有N個元素，每個元素代表一個，分成K個數，即在\((N-1)\)個空擋里放置\(（K-1）\)塊隔板（最多放置N-1個擋板）。

   即求組合數\(，C(0,N-1)+C(1,N-1)+...+C(N-1，N-1)\)的和，根據二項式定理，這個和為\(2^{n-1}\)

2. 使用費馬小定理

   因為N很大，所以需要使用費馬小定理來進行降冪

   \[2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)+k(p-1)}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}mod(p)*2^{k*(p-1)}mod(p) \tag{2.1} \]

   又因為p是一個質數，且2和p互質，那么就可以使用費馬小定理了，即

   \[2^{k*(p-1)}mod(p)=1 \tag{2.2} \]

   這樣將\(公式(2.2)公式\)帶入到\(公式(2.1)公式\)中得到

   \[2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}=2^{(n-1)mod(p-1)} \tag{2.3} \]

   於是計算就變得比較簡單了。

3. 快速冪進行求取\(2^{(n-1)mod(p-1)}\)的值

   快速冪的復雜度為\(O(lgN)\)

代碼展示

• #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<queue>
  #include<algorithm>
  
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const ll mod=1e9+7;
  const ll maxn=1e8;
  char str[maxn];
  
  ll qpow(ll a) //快速冪的模板
  {
  	ll ans=1, base=2; //base存儲基數，這里可以調整不同的數
  	while(a)
  	{
  		if(a&1)
  		{
  			ans=ans*base%mod;
  		}
  		base=(base*base)%mod; //注意這里如果基數是2的情況下，不能使用base=(base<<1)%mod
                                //因為這里有mod，所以寫法目前是唯一的，就是代碼中的寫法。
  		a>>=1;
  	}
  	return ans%mod;
  }
  int main()
  {
  	while(scanf("%s", str)!=EOF)
  	{
  		ll num=0, len=strlen(str);
  		for(int i=0; i<len; i++)
  			num=(num*10 + str[i]-'0') % (mod-1); //這就是對2的指數的化簡，使用費馬小定理
  		printf("%lld\n", qpow(num-1));
  	}
  	return 0;
   }
  

總結

\[2^{p-1}=1(mod\ p) \]

1. 費馬小定理最重要的一點是p（模數）必須是質數，並且與a（底數）互質，只有這樣才能使用。
2. 使用這個定理的目的主要是降低計算的復雜度。
3. 也可以用於某些數論方面的題目，這個目前自己用的比較少，不是很清楚。

END