歐拉函數及費馬小定理

2016.1.26

 

歐拉函數：

對於m=p₁^e1 . p₂^e2 . p₃^e3 . …… . p_n^en  （唯一分解）  

歐拉函數定義為φ(m)=m * ∏(p_i – 1)/p_i

其意義為不超過m並且和m互素的數的個數

特別的φ（1）=1

證明：

        首先不知道容斥原理的先了解一下

        於是可以得到φ(m)=n-n/p₁-n/p₂-...-n/pn+n/(p1p2)+n/(p1p3)+...+n/(p_k-1p_k)-...........

        然后再來看公式φ(m)=m * ∏(1– 1/p_i)

         把右邊展開【眾人：你逗我

         當然不是真的展開,事實上我們展開的每一項無非是從每個括號中選一個，不是1就是-1/p_i ，然后乘起來得到的。

         這時的你是否有一絲激動！

         這不就是和容斥原理一毛一樣！

         然后就得證了！

 

歐拉定理：

對於和m互素的x，有x^φ(m)≡1(mod m)

證明：

設所有n以下和n互質的數依次為X₁,X₂,…,X_φ(n)

設k為一個與n互質的數，那么設A={kX₁, kX₂,…, kX_φ(n)}

【那么A中沒有兩個數模n同余】

證明：假設ak≡bk(mod n)

      那么有ak-bk=nq,即(a-b)k=qn,所以左式模n為0

      然而k與n互質，1<(a-b)<n，所以(a-b)也模n不等於0

      那么顯然上式不成立

      證畢

【A中所有數的余數都與n互質】

證明：假設gcd(kX_i mod n, n)=r

      那么kX_i=qn+pr

      那么kX_i也有因子r，那么kX_i與n不互質，顯然不可能

      證畢

 

那么由以上兩個結論可知A中的數模n的余數應該與X₁,X₂,…,X_φ(n) 唯一對應。

即X₁*X₂*…*X_φ(n) ≡ kX₁*kX₂*…*kX_φ(n) (mod n)

也就是說0 ≡ (k^φ(n)-1)*X₁*X₂*…*X_φ(n) (mod n)

顯然X₁*X₂*…*X_φ(n)是與n互質的，所以k^φ(n)-1≡0(mod n)

k^φ(n)≡1(mod n)

得證

 

費馬小定理：

 

特別的，當p為素數時，x無法被p整除，φ(p)=p-1，於是便有費馬小定理X^p-1≡1(mod p)

在p是素數時，對任意正整數x都有X^p≡X(mod p)

 

於是對於a的逆元x，有ax≡1(mod m),對於a,m互素且m為素數時，有x=a^m-2，於是我們可以通過快速冪快速求出a的逆元。

另外，借助素數篩，我們還可以很快的求出1-n的歐拉函數值。每當我們找到一個素數，就把他的倍數的歐拉函數值乘上（p-1）/p.

而且，借助費馬小定理我們可以實現對除法取模。