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目錄
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| 在數論中，歐拉定理(也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數定理)是一個關於同余的性質 歐拉定理表明，若n，a為正整數，且n，a互質，則: aφ(n) ≡ 1 (MOD n) ——bia度百科 |
| 歐拉函數 在數論，對正整數n>1，歐拉函數是小於n的正整數中與n互質的數的數目(φ(1)=1)
(其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數) ——bia度百科 |
| 歐拉函數五個性質
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(某一種證法，需要了解一下[◹]同余定理里面的同余類，剩余類，簡化剩余類)
將1~n中與n互質的數按順序排布：x1，x2……xφ(n)，顯然，共有φ(n)個數
我們考慮這么一些數：
m1 == a*x1
m2 == a*x2
m3 == a*x3
……
mφ(n) == a*xφ(n)
①這些數中的任意兩個都不模n同余，因為如果有mS ≡ mR (mod n) （這里假定mS更大一些），就有：
mS-mR == a(xS-xR) == qn
即n能整除a(xS-xR)
但是a與n互質，a與n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除
也就是說這些數中的任意兩個都不模n同余，φ(n)個數有φ(n)種余數
②這些數除n的余數都與n互質，因為如果余數與n有公因子r，那么
a*xi == pn+qr == r(……) a*xi與n不互質
而這是不可能的
那么這些數除n的余數，都在x1，x2，x3……xφ(n)中，因為這是1~n中與n互質的所有數，而余數又小於n
由①和②可知，數m1，m2，m3……mφ(n)（如果將其次序重新排列）必須相應地同余於x1，x2，x3……xφ(n)
故得出：m1*m2*m3……*mφ(n) ≡ x1*x2*x3……*xφ(n) (mod n)
此處證明可見[◹]線性同余方程組中的可乘性
或者說aφ(n)*(x1*x2*x3……*xφ(n)) ≡ x1*x2*x3……*xφ(n) (mod n)
或者為了方便：K{aφ(n)-1} ≡ 0 ( mod n ) 這里K=x1*x2*x3……*xφ(n)
可知K{aφ(n)-1}被n整除，但K中的因子x1，x2……都與n互質，所以K與n互質
那么aφ(n)-1必須能被n整除，即aφ(n)-1 ≡ 0 (mod n)，即aφ(n) ≡ 1 (mod n)，得證
——bia度百科
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費馬小定理
ap-1 ≡ 1 (MOD p) (p為素數，ap互素)
證明：
據歐拉定理，有aφ(n) ≡ 1 (MOD n)
當n為素數時，有φ(n) == n-1
即an-1 ≡ 1 (MOD n) (n為素數)
費馬小定理常應用於有關素數的問題
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簡化冪的模運算
如計算7222的個位數，實際是求7222被10除的余數
7和10互素，且φ(10)=4
由歐拉定理知74 Ξ 1 (MOD 10)
所以7222 == (74)55 * (72) Ξ 155 * 72 Ξ 49 Ξ 9 (mod 10)
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群論
歐拉函數實際上是模n的同余類所構成的乘法群（即環 Z/nZ的所有單位元組成的乘法群）的階
畢竟aφ(n) ≡ 1 (MOD n)，則aφ(n)是mod n群里面的單位元
歐拉定理也指出了，當a與n互素時，a的指數的一個周期長度為φ(n)，但不一定是最小正周期