概述：
費馬小定理和歐拉定理是數論中非常重要的兩個定理,對解決整除問題和同余問題有着強大的功能。
費馬小定理與歐拉定理
費馬小定理：當 \(m\) 為質數且 \(a\) 不為 \(m\) 的倍數（即：\(gcd(a,m) = 1\)時有 $a^{m−1}≡1\ mod\ (m) $
另一個形式：對於任意整數 \(a\) ，有 \(a^m \equiv a \pmod{m}\) 。
根據費馬小定理可知： \(a^{m−2}\) 就是 \(a\) 在模 \(m\) 意義下的逆元.
歐拉定理：當 \(a\) , \(m\) 互質時, \(aϕ(m)≡\ 1\ mod\ (m)\) （這個式子也可以求逆元）
其實根據歐拉函數，我們可以看出費馬小定理就是歐拉定理的特殊情況，因為若 \(m\) 為質數：$ ϕ(m)=m−1$
簡單來說歐拉函數 φ(n) 是小於等於 n 的正整數中與 n 互質的數的個數。
費馬小定理證明
設一個質數為 \(p\) ，我們取一個不為 \(p\) 倍數的數 \(a\) 。
構造一個序列： \(A=\{1,2,3\dots,p-1\}\) ，這個序列有着這樣一個性質：
證明：
又因為每一個 \(A_i\times a \pmod p\) 都是獨一無二的，且 \(A_i\times a \pmod p < p\)
得證（每一個 \(A_i\times a\) 都對應了一個 \(A_i\) )
設 \(f=(p-1)!\) , 則 \(f\equiv a\times A_1\times a\times A_2\times a \times A_3 \dots \times A_{p-1} \pmod p\)
證畢。
應用
首先看一個基本的例子。
令 \(a = 3，n = 5\)，這兩個數是互素的。
比 \(5\) 小的正整數中與 \(5\) 互素的數有 \(1、2、3和4\)，所以 \(φ(5)=4\)。
計算: \(a^{φ(n)} = 3^4 =81\)，而 \(81= 80 + 1 ≡ 1 （mod\ 5）\)。
與定理結果相符。
簡化冪的模運算
這個定理可以用來簡化冪的模運算。
比如計算\(7^{222}\)的個位數，實際是求7\(^{222}\)被\(10\)除的余數。
\(7\)和\(10\)互素，且\(φ(10)=4\)。
由歐拉定理知\(7^4≡1\ (mod\ 10)\)。
所以\(7^{222}=(7^4)^55*(7^2)≡1^{55}*7^2≡49≡9\ (mod\ 10)\)。
歐拉定理證明
實際上這個證明過程跟上文費馬小定理的證明過程是非常相似的： 構造一個與 \(m\) 互質的數列 ，再進行操作。
設 \(r_1, r_2, \cdots, r_{\varphi(m)}\) 為模 \(m\) 意義下的一個簡化剩余系，則 \(ar_1, ar_2, \cdots, ar_{\varphi(m)}\) 也為模 \(m\) 意義下的一個簡化剩余系。所以 \(r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \equiv ar_1 \cdot ar_2 \cdots ar_{\varphi(m)} \equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \pmod{m}\) ，可約去 \(r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)}\) ，即得 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\) 。
當 \(m\) 為素數時，由於 \(\varphi(m) = m - 1\) ，代入歐拉定理可立即得到費馬小定理。
參考
Wiki：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86