證明：數論四大定理之歐拉定理與費馬小定理

歐拉定理以及費馬小定理的證明

前言

• 好久沒有刷過數論的題了，感覺之前證明過的一些東西都有些忘記了，正好最近在重新學數論，就順便記下一些定理及證明。

歐拉定理的證明

先寫歐拉定理是因為費馬小定理本身就是歐拉定理的一個特例，其證明過程本質上是一致的。

Description :

\[若正整數\:a,n\:互質，則\:a^{\varphi(n)}\equiv 1\:(mod\:n) \]

准備知識：

• 前置小芝士🧀：

  1. 同余的性質：自反性、對稱性、傳遞性、同加性、同乘性、同冪性等。
     • 自反性：\(a\equiv a\:(mod\:m)\)
     • 對稱性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，則 \(b\equiv a\:(mod\:m)\)
     • 傳遞性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m),b\equiv c\:(mod\:m)\) ，則 \(a\equiv c\:(mod\:m)\)
     • 同加性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，則 \(a+c\equiv b+c\:(mod\:m)\)
     • 同乘性：
       • 若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，則 \(a\times c\equiv b\times c\:(mod\:m)\)
       • 若 \(a\equiv b\:(mod\:m),c\equiv d\:(mod\:m)\) ，則 \(a\times c\equiv b\times d\:(mod\:m)\)
     • 同冪性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，則 \(a^n\equiv b^n\:(mod\:m)\)
  2. 完全剩余系以及簡化剩余系的概念

• 引理 \(1\) ：

  • 若 \(a,b,c\) 為任意 \(3\) 個整數，\(m\) 為正整數，且 \(m\) 與 \(c\) 互質，則當 \(a\cdot c\equiv b\cdot c\:(mod\:m)\) 時，有 \(a\equiv b\:(mod\:m)\)
  • 證明：\(a\cdot c\equiv b\cdot c\:(mod\:m)\) 可得 \(ac-bc\equiv 0\:(mod\:m)\) ，即 \((a-b)\cdot c\equiv 0\:(mod\:m)\) 。因為 \(m\) 與 \(c\) 互質，所以 \(c\) 不可能為 \(m\) 的倍數，即 \(a-b\equiv 0\:(mod\:m)\) ，所以 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) 。

  證畢。

• 引理 \(2\) ：

  • 若 \(a,b\) 屬於 \(m\) 的簡化剩余系，那么 \(a\times b\) 仍屬於 \(m\) 的簡化剩余系（即 \(m\) 的簡化剩余系關於模 \(m\) 乘法封閉）。
  • 證明：若 \(a,b\) 與 \(m\) 互質，即 \(a,b\) 不含有與 \(m\) 相同的質因子，那么 \(a\times b\) 也不可能與 \(m\) 含有相同的質因子，即 \(a\times b\) 也與 \(m\) 互質，所以 \(a\times b\) 仍屬於 \(m\) 的簡化剩余系。

  證畢。

• 引理 \(3\) ：

  • 若 \(n\) 與 \(m\) 互質，且 \(\left\{\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3},\cdots,\overline{a_m}\right\}\) 為 \(m\) 的完全剩余系，則 \(\left\{\overline{na_1},\overline{na_2},\overline{na_3},\cdots,\overline{na_m}\right\}\) 也構成 \(m\) 的完全剩余系。
  • 證明：若存在 \(na_i\) 與 \(na_j\) 同余即 \(na_i\equiv na_j\:(mod\:m)\) ，由引理 \(1\) 可得 \(a_i\equiv a_j\:(mod\:m)\) ，與條件不符，故假設不成立。

  證畢。

• 引理 \(4\) ：

  • 若 \(n\) 與 \(m\) 互質，且 \(\left\{\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3},\cdots,\overline{a_{\varphi(n)}}\right\}\) 為 \(m\) 的簡化剩余系，則 \(\left\{\overline{na_1},\overline{na_2},\overline{na_3},\cdots,\overline{na_{\varphi(n)}}\right\}\) 也構成 \(m\) 的簡化剩余系。
  • 證明：由引理 \(2\) 以及引理 \(3\) 易證。

  證畢。

證明：

• 構造 \(n\) 的簡化剩余系為

  \[\left\{\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3},\cdots,\overline{a_{\varphi(n)}}\right\} \]

• 那么根據引理 \(4\) 得：

  \[a^{\varphi(n)}a_1a_2\cdots a_{\varphi\left(n\right)}\equiv (aa_1)(aa_2)\cdots (aa_{\varphi(n)})\equiv a_1a_2\cdots a_{\varphi(n)}\:(mod\:n) \]

• 根據簡化剩余系的定義可知 \(a_1,a_2,a_3,\cdots a_{\varphi(n)}\) 均與 \(n\) 互質，又根據引理 \(1\) 可得 \(a^{\varphi(n)}\equiv1\:(mod\:n)\)

證畢。

歐拉定理的一點點小擴展

\[A^B\equiv A^{B\:mod\:\varphi(n)}\:(mod\:n) \]

• 證明：設 \(B=k\times\varphi(n)+r\)，則 \(r=B\:mod\:\varphi(n)\)，由歐拉定理得 \(A^B\equiv A^{k\times\varphi(n)+r}\equiv A^r\times \left(A^{\varphi(n)}\right)^k\equiv A^r\:(mod\:n)\)

證畢。

費馬小定理的證明

回到之前說的一句話，為什么費馬小定理實際上就是歐拉定理呢？

Description：

\[若\:p\:是質數，則對於任意滿足不是\:p\:的倍數的\:a\:，有\:a^{p-1}\equiv 1\:(mod\:p) \]

准備知識：

• 當 \(p\) 為質數時，\(\varphi(p)=p-1\) ，所以其本質就是歐拉定理。

• 引理 \(5\) ：

  • 若 \(p\) 是質數，則其簡化剩余系為其完全剩余系。
  • 證明：根據簡化剩余系以及完全剩余系的定義可得。

  證畢。

• 由此可知其證明過程即與歐拉定理十分類似。

證明：

• 構造素數 \(p\) 的完全剩余系為

  \[\left\{1,2,3,\cdots,p-1\right\} \]

• 那么根據引理 \(3\) 得：

  \[\left\{a,2a,3a,\cdots,(p-1)a\right\} \]

  也是 \(p\) 的完全剩余系。

• 則

  \[1\times 2\times 3\times \cdots \times (p-1)\equiv a\cdot 2a\cdot 3a\cdot \cdots \cdot(p-1)a\equiv (p-1)!\cdot a^{p-1}\:(mod\:n) \]

  又因為 \((p-1)!\) 與 \(p\) 互質，所以約去 \((p-1)!\) 得到

  \[a^{p-1}\equiv 1\:(mod\:p) \]

證畢。

后話

• 到此為之歐拉定理以及費馬小定理就都已證明。有了引理 \(5\) 的鋪墊不難發現費馬小定理的證明過程本質上就是歐拉定理的證明過程，至於其中更多的細節，還需要自己去思考、去領悟。
• 順便擴展一下歐拉函數的幾個性質及其證明。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。

2021年1月16日
——pycr