數論四大定理——威爾遜定理

歷史沿革

該定理是以英格蘭數學家愛德華·華林的學生約翰·威爾遜命名的，盡管這對師生都未能給出證明。華林於1770年提出該定理，1773年由拉格朗日首次證明。

定理內容

當且僅當p為素數時：

\[(p-1)!\equiv -1(mod\ p) \]

或者用其它的表述方法：

1. 當p為素數時，\((p-1)!+1\)可以被p整除
2. 逆定理：若\((p-1)!+1\)可以被p整除，那么p為素數

背景知識

剩余類與剩余系

1. 剩余類
   定義：一個整數被正整數n除后，余數有n種情形：0，1，2，3，…，n-1，它們彼此對模n不同余。這表明，每個整數恰與這n個整數中某一個對模n同余。這樣一來，按模n是否同余對整數集進行分類，可以將整數集分成n個兩兩不相交的子集。我們把（所有）對模n同余的整數構成的一個集合叫做模n的一個剩余類。
   理解：在模n的情況下，余數會有n種情況，那么對於所有的整數來說，就可以根據模n余數划分出n類，每一類中的數模n的余數都相同，而這些類就是一個個的剩余類。
   性質：模n的剩余類有n個。
2. 剩余系：
   定義：指對於某一個特定的正整數n，一個整數集中的數模n所得的余數域。（這里的余數可以不完全/個數小於n）
3. 完全剩余系：
   如果一個剩余系中包含了這個正整數所有可能的余數（一般地，對於任意正整數n，有n個余數：0,1,2,...,n-1），那么就被稱為是模n的一個完全剩余系。
   只要它們的余數不相同，它們可以不是相鄰的數。
4. 最小非負剩余系：
   如果模n的剩余系為：0、1、2、……、n-1，那么這個剩余系稱為最小非負剩余系。
5. 最小正剩余系：
   將最小非負剩余系中的0換為n，即是最小正剩余系。

縮系（簡化剩余系，既約剩余系）

在模n的剩余類中，如果有一個數與n互素，那么該剩余類中的每一個數都與n互素，稱該剩余類與n互素。在歐拉定理中（[[數論四大定理——歐拉定理]]），歐拉函數\(\varphi (n)\)就等於小於n的正整數中與n互素元素的個數。而這些元素也組成了一個縮系。或者說：在模n的完全剩余系中，有\(\varphi(n)\)個數與n互素，稱這\(\varphi(n)\)個數構成了模n的一個縮系。所以歐拉函數也等於一個縮系中元素的個數。
性質：如果元素：

\[r_1,r_2,r_3,...,r_n \]

是模n的一個縮系，那么：

\[ar_1,ar_2,ar_3,...ar_n\ \ \ \ \ \ \ (gcd(a,n)=1) \]

也是模n的一個縮系。

證明

必要性

\[(p-1)!\equiv -1(mod\ p) \Leftrightarrow p|(p-1)!+1 \]

假設p不是素數，設a是p的（素）因子，易知：

\[a\mid(p-1)! \]

（因為(p-1)!包括從1到p-1之間的所有數，而a是p的素因子，a一定小於p，所以在p-1的階乘中一定有一個a）
則有：\(a\nmid (p-1)!-1\)
而\(p\mid (p-1)!+1\Rightarrow a\mid (p-1)!-1\)，前后矛盾
所以p一定是質數。

充分性

思路

證明集合 \(\{2,3,\cdots,p-2\}{2,3,⋯,p−2}\)中存在兩兩配對的元素a , b ,有\(ab\equiv1(mod\ p)\)。即\((p-2)!\equiv1(mod\ p)\)，又\(p-1\equiv-1(mod\ p)\)，所以有\((p-1)!\equiv-1(mod\ p)\)

過程

當\(p=2、3\)時，\((p-1)!\equiv -1(mod\ p)\)顯然成立（條件中要求了p應為質數/素數，所以跳過4）
當\(p\geq 5\)時，令

\[M=\{2,3,4,...,p-2\},N=\{1,2,3,...,p-1\} \]

\(\forall a\in M\)，令：

\[S=a\cdot N=\{a,2a,...,(p-1)a\} \]

注意到\(\forall t\in S,p\nmid t\)
\(\therefore \forall t_1,t_2\in S,t_1\lt t_2\Rightarrow t_2-t_1\in S\Rightarrow p\nmid (t_2-t_1)\)

證明S中的元素不同余：
若\(t_1,t_2\)同余，那么有\(t_2-t_1\equiv 0(mod\ p)\Rightarrow t_2-t_1=k*p\)，這與前面的結論（\(t_2-t_1\in S\)、\(p\nmid t\)）矛盾，所以\(t_1,t_2\)不矛盾。

\(\therefore S\ mod\ p=N\)
也就是\(\forall a\in M,\exists x\in N\)，一定有\(ax\equiv 1(mod\ p)\)（注釋：因為a可以取到M中的所有元素，而a乘小於p的正整數模p總會出現一個1，所以就可以得知M中所有元素都可以取到逆元）
若\(x=1\)，則\(ax\%p=a\%p=a\)
\(\therefore x\ne 1\)
若\(x=p-1\)，則\(ax\%p=(ap-a)\%p=[(a-1)p+p-a]\%p=p-a\)
\(\therefore x\ne p-1\)
若\(x=p-1\)，則\(a^2\equiv 1(mod\ p)\Rightarrow (a+1)(a-1)\equiv 0(mod\ p)\Rightarrow a=1\)或\(a=p-1\)（\(a=(-1\%p)=p-1\)）
\(\therefore x\ne a\)
綜上，\(\forall a\in M,\exists x\in M\)，且\(a\ne x\)，有\(ax\equiv 1(mod\ p)\)
所以\((p-1)!\equiv 1\cdot (p-1)\equiv -1(mod\ p)\)

參考：

1. 數論四大定理之威爾遜定理
2. 威爾遜定理 數論
3. 收集整理威爾遜定理的證明