考慮作者太懶了，博客里面的同余符號都用等號代替 qwq
威爾遜定理
威爾遜定理大概是這么個東西：
\[(p-1)!=-1(mod ~~ p) \]
其中 p 當然是質數辣~
Proof
然后我們考慮證明？
首先：
\[p-1=-1(mod ~~ p) \]
那么我們只需要證明 \((p-2)!=1 (mod~~ p)\) 就好了...
也就是說，除去 1 后，如果 \(2,3,...,p-2\) 能夠兩兩配對，且每對數乘積 模 p 后為 1 的話，威爾遜定理就成立了，然后我們考慮這其實就是對於 \(2,3,...,p-2\) 去找 模 p 意義下的逆元啊...
然后考慮一下二次剩余里面的衍生芝士我們可以知道對於 \(x^2=1\) 只有兩個解（1，p-1），而這兩個數已經被我們安排掉了，也就是說 \(2,3,...,p-2\) 中不存在某個數的逆元是自己本身...
然后我們還知道逆元有唯一性與互反性，於是乎這些數自然是一一對應的辣~
證畢！
Application
這個...顯然可以用在階乘求解上？
但是用途不廣...可能可以用來優化快速階乘？ XD
我們考慮這個式子已經成立了：
\[(p-1)!=-1(mod ~~ p) \]
那么我們現在要求的是：
\[n!~(mod ~~ p) \]
然后我們考慮威爾遜定理能怎么用進去...
（現在我們不考慮 \(n=p-1\) 或 \(p-2\) 的極端情況，\(n=p-1\) 時答案為 \(p-1\) ，\(n=p-2\) 時 答案為 \(1\) ，可特判）
首先：
\[n! ·\Big( (n+1)(n+2)...(p-1)\Big) =-1(mod~~ p) \]
我們令 \(p-n =x\) ：
\[n! ·\Big( (p-x+1)(p-x+2)...(p-1)\Big) =p-1(mod~~ p) \]
那么：
\[\begin{aligned}( n!)'=&(p-x+1)(p-x+2)...(p-2)\\=&(-1)^{x-2}(x-1)(x-2)...(2)\\=&(-1)^x (x-1)!\\=& (-1)^{p-n}(p-1-n)! \\=& (-1)^{n+1}(p-1-n)! \end{aligned} \]
上面 \(p-x+1\) 變到 \(x-1\) 其實就是把負號提出來了...
然后我們發現只要求出 \((p-1-n)!\) 然后乘上 \((-1)^n\)
這樣的優化...可能沒什么用？但是也是優化就是了...