威爾遜定理及其證明

零.前言

由於看的人竟然超過了1000個，於是在 2021.1.8 重寫此文。

一.什么是威爾遜定理

威爾遜定理是指對於一個質數P來說，有

\[(p-1)！\equiv-1(mod\;p) \]

且對於這個定理成立的數一定是質數，即“p為質數”和威爾遜定理互為充分必要條件。

於是通過這個性質我們可以構造一下質數分布的函數曲線（結合sin函數的性質）

\[f(n)=sin(\pi*((n-1)!+1)/n) \]

當函數值為0時，就可以得出一個質數（是不是很雞肋）。

由於充分必要條件我們當然也可以用這個來判斷質數，不過不好用就對了。

二.證明威爾遜定理

首先我們將等式兩邊同時除以一個-1（-1必然與p互質），接下來要證明

\[(p-2)！\equiv1(mod\;p) \]

對這個東西完全沒有頭緒呢~，從形式上觀察，考慮一下比較簡單的情況。

\[ax\equiv1(mod\;p) \]

這個東西就很簡單，當x是a的逆元就好。

​ 再回到威爾遜定理，很顯然，對於 \(p=2\) 的時候，威爾遜定理成立。那么除了2以外的質數應該全是奇數，p-2也應該全是奇數才對,觀察到問題成為了奇數個數相乘與1同余。

​ 又有1的逆元是1，所以把1踢出去，也就是說剩下的偶數個數的數如果可以兩兩對應，乘積\(\mod p=1\)威爾遜定理就整出來了。

對於\(a\in[1,p-2]\),一定有 \(a^{-1}\in[1,p-2],a^{-1}\not=a\)（\(x^2\equiv1\)的解有且只有 1 和 p-1)

那么現在只有一個問題了，逆元是不是一一對應呢，答案是當然的,有很多途徑可證明（比如定義出發，不定方程，費馬小定理等）。

三.一句話證明

逆元的性質決定了一個數和它的逆元一一對應，2~p-2之間必然被\(\frac{p-1}{2}\)個互為逆元的數對完全覆蓋，1的逆元是1，故威爾遜定理成立。