二項式定理
內容
- \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k} = \sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^{n-k} y^k\)
證明方法1
- \((x+y)^n=x(x+y)^{n-1}+{\cdots}=xy(x+y)^{n-2}+{\cdots}=xyx(x+y)^{n-3}+{\cdots}={\cdots}\)
- 由上可知 對於每個 \(x\) 都有一條相乘的路徑
- 如果選擇 \(k\) 個 \(x\) 那么就會選擇 \(n-k\) 個 \(y\)
- 那么我們可以得到式子 \(x^ky^{n-k}\)
- 對於每個組成的 \(x^ky^{n-k}\)
- 都可以是 在 \(n\) 個 \(x\) 中選擇 \(k\) 個 \(x\)
- 那么 \(x^ky^{n-k}\) 的 個數 ( 即系數 ) 為 \(C{_n^k}\)
- 綜上 \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k}\)
證明方法2
- 考慮用數學歸納法。
- 當
時，則 
- 假設二項展開式在
時成立。 - 設
，則有：
，（將a、b<乘入）
，（取出 
的項）
，（設 
）
，（ 取出 
項）
，（兩者相加）
,（套用帕斯卡法則）
推論1
- 證明 \(C^0_n+C^1_n+C^2_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=2^n\)
- 令 \(x=y=1\)
- 由二項式定理得 \((1+1)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} 1^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k}\)
- 即 \(C^0_n+C^1_n+C^2_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=2^n\) 證畢
推論2
- 證明 \(C^0_n+C^2_n+C^4_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}=C^1_n+C^3_n+C^5_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}\)
- 令 \(x=-1,y=1\)
- 由二項式定理得 \((0)^n=C^0_n-C^1_n+C^2_n-C^3_n+C^4_n-{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=0\)
- 移項得 \(C^0_n+C^2_n+C^4_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}=C^1_n+C^3_n+C^5_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}\) 證畢