牛頓二項式定理

二項式定理

二項式定理（英語：binomial theorem），又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664年、1665年間提出.

\[\begin{split}(x+y)^n=\sum_{k=0}^nC(_n^k)x^ky^{n-k}\end{split} \]

證明：

​ 首先補充一個知識

​ \(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)

​ 根據定義很容易得出，對第n個元素，有2種選擇，

​ 1.選 2.不選；

​ 選對應\(C_{n-1}^{m-1}\),不選對應\(C_{n-1}^m\)

​ 再由加法原理得到上式.

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​ 接下來開始我們的證明

​ 數學歸納法。當n=1時，

​ \((x+y)^1=C_1^0x+C_1^1y=x+y\)

​ 顯然成立.

​ 當n=m+1時，假設對n=m成立.

​

\[\begin{split}(x+y)^{m+1}=(x+y)(x+y)^m=(x+y)(\sum_{k=0}^n C_m^kx^ky^{m-k})\\=\sum_{k=0}^mC_m^kx^{k+1}y^{m-k}+\sum_{k=0}^mC_m^kx^ky^{m-k+1}\qquad\ \ \\=\sum_{k=1}^{m+1}C_m^kx^ky^{m-k+1} +\sum_{k=0}^mC_m^kx^ky^{m-k+1}\qquad\ \\ =\sum_{k=0}^{m+1}(C^{k-1}_m+C^l_m)x^ky^{m-k+1}\qquad\qquad\qquad\ \ \\ =\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^{k}x^ky^{m+1-k}\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \ \ \ \ \end{split}\ \]

​ 證畢
不會這么水吧，還是稍微分析一下
第一行：就是拆開了，由於用的是數學歸納法，假設n=m時已經成立了，就可以直接用二項式定理
第二行：乘法分配律，乘進去就完了
第三行：將前面這項的k換成k+1
第四行：和式加法
第五行：剛才補充的知識