二項式定理與組合數

求組合數(c(m,n))

分類：數學題

 （348）  （0）

定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號c(n,m) 表示。

性質：c(n,m)=c(n,n-m);  c(n,0)=1;

 

遞推公式：c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)


C(n+1,m)=c(n,m-1)+c(n,m)=c(n,m-1)+c(n-1,m)+c(n-1,m-1);


C(n,0)+c(n,1)+c(n,2)+……+c(n,m)=c(n+m+1,n);


C(n,n)+c(n+1,n)+c(n+2,n)+……+c(n+m,n)=c(n+m+1,m+1);


C(n,0)+c(n,1)+c(n,2)+……+c(n,n)=2^n;

 

 

簡單的組合：

#include<iostream>
using namespace std;
long long com(int M,int N)
{
int sum=1;
int m=1;
for(int i=N;i>=M;i--)
{
if(m<=M)
{
   sum=sum*i/m;
   m++;
}
}
return sum;
}
int main()
{
int N,M;
while(cin>>M>>N)
{
cout<<com(M,N)<<endl;
}
} 

 二項式

一、必記知識精選

1.二項式定理：(a＋b)ⁿ＝Caⁿ＋Ca^n－1b＋…＋Ca^n－rb^r＋…＋Cbⁿ(n∈N^*)

2.通項公式：T_r＋1＝Ca^n－rb^r

3.二項式系數性質：

(1)距兩端等距離的二項式系數相等，即C＝C.

(2)二項式系數的中間項或中間兩項的二項式系數最大.

當n為偶數時，中間一項（即第＋1項）的二項式系數最大;

當n為奇數時，中間兩項（即第和第＋1項）的二項式系數最大.

(3)在二項展開式中各項的二項式系數和為2ⁿ，即：

C＋C＋C＋…＋C＝2ⁿ.

(4)在二項展開式中，奇數項二項式系數的和等於偶數項二項式系數的和，都等於2^n－1，即

C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2^n－1.

#include       <map>
#include       <set>
#include     <ctime>
#include     <cmath>
#include     <queue>
#include     <stack>
#include    <cstdio>
#include    <vector>
#include   <cstring>
#include   <cstdlib>
#include  <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
/***********************分割線***********************/
const int Mod=10007;

int f[Mod];
int main()
{
    int a,b,k,n,m;
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    a%=Mod;
    b%=Mod;
    int x=1;
    for (int i=0; i<n; i++)
    {
        x*=a;
        x%=Mod;
    }//
    int y=1;
    for (int i=0; i<m; i++)
    {
        y*=b;
        y%=Mod;
    }
    f[1]=1;
    
    for (int i=2; i<=k+1; i++)
        for (int j=i; j>=2; j--)
        {
            f[j]+=f[j-1];
            f[j]%=Mod;
        }
    printf("%d",x*y%Mod*f[m+1]%Mod);

    return 0;
}