5.1 帕斯卡三角形
換言之，楊輝三角。
由其可發現3個性質：
1） \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)
2） \(\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n\)
3） 楊輝三角的項 \(\binom{n}{k}\) 的值代表從最上的點到這一項的路徑數。
5.2 二項式定理
二項式定理
設 \(n\) 是正整數，對所有的 \(x\) 和 \(y\) 有 \((x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k}\)
在 \(y=1\) 時有特殊情形 ： \((1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k\) ，也為常用公式。
關於二項式系數的常用恆等式：
1） \(k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\)
將式子用定義打開即可證。
2） \(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n\)
令 \(x=1,y=1\) ，代入二項式定理即可證。（也可組合推理）
3） 交錯和 \(\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\binom{n}{3}+...+(-1)^n\binom{n}{n}=0\)
也可寫成 \(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+...=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+...=2^{n-1}\)
令 \(x=1,y=-1\) ，代入二項式定理即可證。（也可組合推理）
4） \(1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+...+n\binom{n}{0}=n2^{n-1}\)
利用 \(k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\) ，左式可寫成 \(n\binom{n-1}{0}+n\binom{n-1}{1}+...+n\binom{n-1}{n-1}=n2^{n-1}\)。
5） 利用連續求導及關於 \(x\) 的乘法得到 \(\sum\limits_{k=1}^n k^p\binom{n}{k}\) 關於正整數 \(p\) 的恆等式
由 \((1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k\)
兩邊對 \(x\) 求導 ： \(n(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} kx^{k-1}\)
(令 \(x=1\) 可得 ： \(n2^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n k\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=1}^n k\binom{n}{k}\) )
兩邊同乘 \(x\) 得 ： \(nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} kx^k\)
兩邊對 \(x\) 求導 ： \(n((1+x)^{n-1}+x(n-1)(1+x)^{n-2})=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} k^2x^{k-1}\)
(令 \(x=1\) 可得 ： \(n(n+1)2^{n-2}=\sum\limits_{k=0}^n k^2\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=1}^n k^2\binom{n}{k}\) )
6） 范德蒙卷積公式 \(\sum\limits_{k=0}^n \binom{m1}{k}\binom{m2}{n-k}=\binom{m1+m2}{n}\)
特殊形式 \(\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}\)
利用組合推理證明：
設 \(S\) 為擁有 \(m1+m2\) 個元素的集合，則 \(\binom{m1+m2}{n}\) 計數的是 \(S\) 的 \(n\) 元子集的數目。
把 \(S\) 划分為 \(A,B\) 兩個子集，其中 \(|A|=m1,|B|=m2\)。
考慮每個 \(S\) 的 \(n\) 元子集，其包含 \(k\) 個 \(A\) 元素和 \(n-k\) 個 \(B\) 元素，\(k\) 為 \(0\) 到 \(n\) 之間的整數。
則 \(S\) 的 \(n\) 元子集可根據 \(k\) 的大小划分為 \(n+1\) 個部分，而每部分的大小為 \(\binom{m1}{k}\binom{m2}{n-k}\)
由加法原理可得，\(\sum\limits_{k=0}^n \binom{m1}{k}\binom{m2}{n-k}=\binom{m1+m2}{n}\)
廣義二項式系數
\(\binom{r}{k}\) ，\(r\in R,k\in Z\)
公式 \(\binom{r}{k}=\binom{r-1}{k}+\binom{r-1}{k-1}\) 與 \(k\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k-1}\) 仍成立。
可由帕斯卡公式遞推得到兩個求和公式：
1） \(\binom{r}{0}+\binom{r+1}{1}+..\binom{r+k}{k}=\binom{r+k+1}{k}\)
在左式首加 \(\binom{r}{-1}\) 即可證。
2） \(\binom{0}{k}+\binom{1}{k}+..\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k+1}\)
在左式首加 \(\binom{0}{k+1}\) 即可證。
5.3 二項式系數的單峰性
二項式系數序列 \(\binom{n}{0},\binom{n}{1},...,\binom{n}{n}\) 為單峰序列，最大者為 \(\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}=\binom{n}{\lceil n/2 \rceil}\)
5.4 多項式定理
符號太難打了，略……
5.5 牛頓二項式定理
幾個導出式在生成函數中很重要。
5.6 再論偏序集
定理5.6.1 （\(Dilworth\) 定理的“對偶”定理）
設(\(X,\leq\)) 為有限偏序集，設 \(r\) 為鏈的最大大小。則 \(X\) 可被划分成 \(r\) 條反鏈，不可划分成小於 \(r\) 條反鏈。
\(Dilworth\) 定理
設(\(X,\leq\)) 為有限偏序集，設 \(m\) 為反鏈的最大大小。則 \(X\) 可被划分成 \(m\) 條鏈，不可划分成小於 \(m\) 條鏈。