組合法破解二項式系數問題

前言

關於二項式的系數或者二項式的某一項的求解問題，既可以考慮用通項公式法，也可以考慮用組合法，相比較而言，組合法的作用更大，使用更方便。不過組合法的缺陷是處理含有分式的項\((x^2+\cfrac{1}{x})\)或者含有根式的項\((x+\cfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}})\)時不是很方便，故兩種方法都需要掌握。

一、原理說明

• 使用組合法求解二項展開式中的某一項或某一項的系數的原理

引例1

乘積\((a_1+a_2)(b_1+b_2+b_3)\)的展開式中共有不同的項的個數為_____個。

分析：按照多項式乘法法則可知，每次只能從每一個因式中取出一項，每一個因式中都必須取出某項，然后乘在一起，構成展開式中的某一項；

先在第一個因式中取出\(a_1\)，然后和第二個因式中的每一項相乘，得到\(a_1b_1\)，\(a_1b_2\)，\(a_1b_3\)，

再從第一個因式中取出\(a_2\)，然后和第二個因式中的每一項相乘，得到\(a_2b_1\)，\(a_2b_2\)，\(a_2b_3\)，

使用分類加法計數原理，$N=3+3=6 $個；

或使用分步乘法計數原理，$N=C_2^1\cdot C_3^1=6 $個。

引例2 \((x^2-x+2)^5\)的展開式中，\(x^3\)的系數是多少？

法1：將三項式轉化為二項式的形式來處理。\((x^2-x+2)^5=[(x^2-x)+2]^5=[(x^2+2)-x]^5\)，留作練習。

法2：組合法，推薦方法，希望掌握；

由於\((x^2-x+2)^5=(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)\)，

按照多項式乘法法則可知，每次只能從每一個因式中取出一項，每一個因式中都必須取出某項，然后乘在一起，構成展開式中的某一項；這樣我們可以按照這樣的操作思路來構成含有\(x^3\)的項：

其一：先從5個相同因式中任意選取一個有\(C_5^1\)種，在取出的這個因式中只選取項\(x^2\)；

然后再從剩余的4個相同因式中任意選取一個有\(C_4^1\)種，在取出的這個因式中只選取項\(-x\)；

最后將剩余的3個相同因式全部選取有\(C_3^3\)種，在取出的每個因式中只選取項\(2\)；

故有\(C_5^1\cdot x^2 \cdot C_4^1\cdot(-x)\cdot C_3^3 \cdot 2\cdot 2\cdot 2=-C_5^1\cdot C_4^1\cdot C_3^3\cdot 2^3\cdot x^3\)；

其二：先從5個相同因式中任意選取三個有\(C_5^3\)種，在取出的每個因式中只選取項\(-x\)；

然后將剩余的2個相同因式中全部選取有\(C_2^2\)種，在取出的每個因式中只選取項\(2\)；

故有\(C_5^3\cdot (-x) \cdot (-x) \cdot (-x) \cdot C_2^2\cdot 2\cdot 2=-C_5^3\cdot C_2^2\cdot 2^2\cdot x^3\)；

故\(x^3\)的項的組成是\(C_5^1\cdot x^2 \cdot C_4^1\cdot(-x)\cdot C_3^3\cdot 2^3+C_5^3\cdot(-x)^3\cdot C_2^2\cdot 2^2=-200x^3\)；

注意兩點：①組合數的上標之和應該等於題目中的指數；②組合數的上標和出現的對應項的次數應該一致；

二、典例剖析

• 解決二項式問題

例1 【2017高考安徽卷】\((x^3+\cfrac{1}{x})^7\)的展開式中\(x^5\)的系數為_____________。

法1：通項公式法，由\((x^3+\cfrac{1}{x})^7\)展開式的通項公式：\(T_{r+1}=C_7^r\cdot (x^3)^{7-r}\cdot (x)^{-r}=C_7^r\cdot x^{21-4k}\)，

令\(21-4k=5\)，解得\(k=4\)，故展開式中\(x^5\)的系數為\(C_7^4=35\)。

法2：組合法，經過嘗試，只有取3個\(x^3\)項和4個\(\cfrac{1}{x}\)項，其乘積才是\(x^5\)；

故含有\(x^5\)的項的組成是：\(C_7^3\cdot (x^3)^3\cdot C_4^4\cdot (\cfrac{1}{x})^4=35x^5\)，即其系數為\(35\)。

• 解決三項式問題

例2 \((x^2+2x+3y)^5\)的展開式中，含\(x^5y^2\)的項的系數是多少？

法1：將三項式轉化為二項式的形式來處理。

\((x^2+2x+3y)^5=[(x^2+2x)+3y]^5\)，其通項公式為\(T_{r+1}=C_5^r(x^2+2x)^{5-r}(3y)^r\)，

由此式可知令\(r=2\)，則有\(T_{2+1}=C_5^2(x^2+2x)^{5-2}(3y)^2=9C_5^2(x^2+2x)^3y^2\)，

以下確定\(x\)的次數，再令\((x^2+3x)^3\)的通項公式為\(T_{k+1}=C_3^k(x^2)^{3-k}(2x)^k=2^kC_3^kx^{6-k}\)，

由此式可知令\(k=1\)，則\(T_{1+1}=C_3^1(x^2)^{3-1}(2x)^1=2\times3 x^5\)，

故含有\(x^5y^2\)的項的系數應該是\(9C_5^2\times2\times3=540\).

法2：排列組合法，

\((x^2+2x+3y)^5=(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)\)，

先分析\(x^5y^2\)的項的構成方式，在本題中，只能是2次\(x^2\)，1次\(x\)，2次\(y\)構成，

故按照多項式乘法法則可知，我們可以先從5個因式中任意選取二個有\(C_5^2\)種，在取出的這個因式種只選取項\(x^2\)；

然后再從剩余的3個因式中任意選取一個有\(C_3^1\)種，在取出的這個因式中只選取項\(2x\)；

最后將剩余的2個因式全部選取，有\(C_2^2\)種，在取出的每個因式種只選取項\(3y\)；

故有\(C_5^2\cdot x^2 \cdot x^2 \cdot C_3^1\cdot 2x\cdot C_2^2 3y\cdot 3y\)

\(=C_5^2\cdot C_3^1\cdot C_2^2\cdot 2\cdot 9x^5y^2=540x^5y^2\).

• 解決兩個二項式乘積形式

例3 【2017高考全國卷丙】\((x+y)\cdot (2x-y)^5\)的展開式中\(x^3y^3\)的系數為【】

$A.-80$ $B.-40$ $C.40$ $D.80$

法1：通項公式法，由\((2x-y)^5\)展開式的通項公式：\(T_{r+1}=C_5^r\cdot (2x)^{5-r}\cdot (-y)^r\)可得：

當\(r=3\)時，\(x\cdot (2x-y)^5\)展開式中\(x^3y^3\)的系數為\(C_5^3\times 2^2\times (-1)^3=-40\)；

當\(r=2\)時，\(y\cdot (2x-y)^5\)展開式中\(x^3y^3\)的系數為\(C_5^2\times 2^3\times (-1)^2=80\)；

則\(x^3y^3\)的系數為\(80-40=40\)，故選\(C\)。

法2：排列組合法，構成\(x^3y^3\)的有兩個來源：

其一，\(C_1^1\cdot x\cdot C_5^2\cdot (2x)^2\cdot C_3^3\cdot (-y)^3=-40x^3y^3\)；

其二，\(C_1^1\cdot y\cdot C_5^3\cdot (2x)^3\cdot C_2^2\cdot (-y)^2=80x^3y^3\)；

則\(x^3y^3\)的系數為\(80-40=40\)，故選\(C\)。

例4 【2017高考全國卷乙】\((1+\cfrac{1}{x^2})\cdot (1+x)^6\)的展開式中\(x^2\)的系數為【】

$A.15$ $B.20$ $C.30$ $D.35$

提示：選\(C\)。

其一：\(C_1^1\cdot 1\cdot C_6^2\cdot x^2\cdot C_4^4\cdot 1^4=15x^2\)；

其二：\(C_1^1\cdot \cfrac{1}{x^2}\cdot C_6^4\cdot x^4\cdot C_2^2\cdot 1^2=15x^2\)；

例5 \((x+\cfrac{1}{x})(2x-\cfrac{1}{x})^5\)的展開式中的常數項是多少？

分析：常數項來源於兩個，

其一是\(C_1^1\cdot x\cdot [C_5^3(2x)^2(-\cfrac{1}{x})^3]\)，

其二是\(C_1^1\cdot \cfrac{1}{x}\cdot [C_5^2(2x)^3(-\cfrac{1}{x})^2]\)，

故常數項為\(C_5^32^2(-1)^3+C_5^22^3(-1)^2=40\)

例6 【最好用通項公式法】\((x^2-a)(x+\cfrac{1}{x})^{10}\)的展開式中\(x^6\)的系數為\(30\)，則\(a\)=【】

$A.\cfrac{1}{3}$ $B.\cfrac{1}{2}$ $C.1$ $D.2$

例7 【2019高三理科數學啟動卷，2019陝西省二檢試卷第11題】\((2x^2-x+1)^8\)的展開式中\(x^5\)的系數式【】

$A.1288$ $B.1280$ $C.-1288$ $D.-1280$

分析：使用組合法，其中項\(x^5\)的構成有以下幾個角度：\(C_8^2\cdot (2x^2)^2\cdot C_6^1\cdot (-x)^1\cdot C_5^5\cdot 1^5\)；\(C_8^1\cdot (2x^2)^1\cdot C_7^3\cdot (-x)^3\cdot C_4^4\cdot 1^4\)；\(C_8^0\cdot (2x^2)^0\cdot C_8^5\cdot (-x)^5\cdot C_3^3\cdot 1^3\)；整理后其系數為\(-1288\)，故選\(C\)。

三、思維串線

• 用組合法肯定也能處理四項式，甚或五項式的問題；

• 與此類似的數學方法，比如我們常常用穿根法求解高次不等式，自然也能用之求解二次不等式，也能求解一次不等式，以及能轉化為高次不等式的那些不等式。

• 解釋二項分布中的概率計算公式的原理

一般的，在\(n\)次獨立重復試驗中，設事件\(A\)發生的次數為\(X\)，每次試驗中事件\(A\)發生的概率為\(p\)，則事件\(A\)恰好發生\(k\)次的概率為\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，n\))，此時稱隨機變量\(X\)服從二項分布，記為\(X\sim B(n，p)\)，並稱\(p\)為成功概率。

解釋：二項展開式\([p+(1-p)]^n\)中，事件\(A\)發生\(k\)次，即對應展開式中的含\(p^k\)的項，其為\(C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\)，即\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，