组合法破解二项式系数问题

前言

关于二项式的系数或者二项式的某一项的求解问题，既可以考虑用通项公式法，也可以考虑用组合法，相比较而言，组合法的作用更大，使用更方便。不过组合法的缺陷是处理含有分式的项\((x^2+\cfrac{1}{x})\)或者含有根式的项\((x+\cfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}})\)时不是很方便，故两种方法都需要掌握。

一、原理说明

• 使用组合法求解二项展开式中的某一项或某一项的系数的原理

引例1

乘积\((a_1+a_2)(b_1+b_2+b_3)\)的展开式中共有不同的项的个数为_____个。

分析：按照多项式乘法法则可知，每次只能从每一个因式中取出一项，每一个因式中都必须取出某项，然后乘在一起，构成展开式中的某一项；

先在第一个因式中取出\(a_1\)，然后和第二个因式中的每一项相乘，得到\(a_1b_1\)，\(a_1b_2\)，\(a_1b_3\)，

再从第一个因式中取出\(a_2\)，然后和第二个因式中的每一项相乘，得到\(a_2b_1\)，\(a_2b_2\)，\(a_2b_3\)，

使用分类加法计数原理，$N=3+3=6 $个；

或使用分步乘法计数原理，$N=C_2^1\cdot C_3^1=6 $个。

引例2 \((x^2-x+2)^5\)的展开式中，\(x^3\)的系数是多少？

法1：将三项式转化为二项式的形式来处理。\((x^2-x+2)^5=[(x^2-x)+2]^5=[(x^2+2)-x]^5\)，留作练习。

法2：组合法，推荐方法，希望掌握；

由于\((x^2-x+2)^5=(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)\)，

按照多项式乘法法则可知，每次只能从每一个因式中取出一项，每一个因式中都必须取出某项，然后乘在一起，构成展开式中的某一项；这样我们可以按照这样的操作思路来构成含有\(x^3\)的项：

其一：先从5个相同因式中任意选取一个有\(C_5^1\)种，在取出的这个因式中只选取项\(x^2\)；

然后再从剩余的4个相同因式中任意选取一个有\(C_4^1\)种，在取出的这个因式中只选取项\(-x\)；

最后将剩余的3个相同因式全部选取有\(C_3^3\)种，在取出的每个因式中只选取项\(2\)；

故有\(C_5^1\cdot x^2 \cdot C_4^1\cdot(-x)\cdot C_3^3 \cdot 2\cdot 2\cdot 2=-C_5^1\cdot C_4^1\cdot C_3^3\cdot 2^3\cdot x^3\)；

其二：先从5个相同因式中任意选取三个有\(C_5^3\)种，在取出的每个因式中只选取项\(-x\)；

然后将剩余的2个相同因式中全部选取有\(C_2^2\)种，在取出的每个因式中只选取项\(2\)；

故有\(C_5^3\cdot (-x) \cdot (-x) \cdot (-x) \cdot C_2^2\cdot 2\cdot 2=-C_5^3\cdot C_2^2\cdot 2^2\cdot x^3\)；

故\(x^3\)的项的组成是\(C_5^1\cdot x^2 \cdot C_4^1\cdot(-x)\cdot C_3^3\cdot 2^3+C_5^3\cdot(-x)^3\cdot C_2^2\cdot 2^2=-200x^3\)；

注意两点：①组合数的上标之和应该等于题目中的指数；②组合数的上标和出现的对应项的次数应该一致；

二、典例剖析

• 解决二项式问题

例1 【2017高考安徽卷】\((x^3+\cfrac{1}{x})^7\)的展开式中\(x^5\)的系数为_____________。

法1：通项公式法，由\((x^3+\cfrac{1}{x})^7\)展开式的通项公式：\(T_{r+1}=C_7^r\cdot (x^3)^{7-r}\cdot (x)^{-r}=C_7^r\cdot x^{21-4k}\)，

令\(21-4k=5\)，解得\(k=4\)，故展开式中\(x^5\)的系数为\(C_7^4=35\)。

法2：组合法，经过尝试，只有取3个\(x^3\)项和4个\(\cfrac{1}{x}\)项，其乘积才是\(x^5\)；

故含有\(x^5\)的项的组成是：\(C_7^3\cdot (x^3)^3\cdot C_4^4\cdot (\cfrac{1}{x})^4=35x^5\)，即其系数为\(35\)。

• 解决三项式问题

例2 \((x^2+2x+3y)^5\)的展开式中，含\(x^5y^2\)的项的系数是多少？

法1：将三项式转化为二项式的形式来处理。

\((x^2+2x+3y)^5=[(x^2+2x)+3y]^5\)，其通项公式为\(T_{r+1}=C_5^r(x^2+2x)^{5-r}(3y)^r\)，

由此式可知令\(r=2\)，则有\(T_{2+1}=C_5^2(x^2+2x)^{5-2}(3y)^2=9C_5^2(x^2+2x)^3y^2\)，

以下确定\(x\)的次数，再令\((x^2+3x)^3\)的通项公式为\(T_{k+1}=C_3^k(x^2)^{3-k}(2x)^k=2^kC_3^kx^{6-k}\)，

由此式可知令\(k=1\)，则\(T_{1+1}=C_3^1(x^2)^{3-1}(2x)^1=2\times3 x^5\)，

故含有\(x^5y^2\)的项的系数应该是\(9C_5^2\times2\times3=540\).

法2：排列组合法，

\((x^2+2x+3y)^5=(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)\)，

先分析\(x^5y^2\)的项的构成方式，在本题中，只能是2次\(x^2\)，1次\(x\)，2次\(y\)构成，

故按照多项式乘法法则可知，我们可以先从5个因式中任意选取二个有\(C_5^2\)种，在取出的这个因式种只选取项\(x^2\)；

然后再从剩余的3个因式中任意选取一个有\(C_3^1\)种，在取出的这个因式中只选取项\(2x\)；

最后将剩余的2个因式全部选取，有\(C_2^2\)种，在取出的每个因式种只选取项\(3y\)；

故有\(C_5^2\cdot x^2 \cdot x^2 \cdot C_3^1\cdot 2x\cdot C_2^2 3y\cdot 3y\)

\(=C_5^2\cdot C_3^1\cdot C_2^2\cdot 2\cdot 9x^5y^2=540x^5y^2\).

• 解决两个二项式乘积形式

例3 【2017高考全国卷丙】\((x+y)\cdot (2x-y)^5\)的展开式中\(x^3y^3\)的系数为【】

$A.-80$ $B.-40$ $C.40$ $D.80$

法1：通项公式法，由\((2x-y)^5\)展开式的通项公式：\(T_{r+1}=C_5^r\cdot (2x)^{5-r}\cdot (-y)^r\)可得：

当\(r=3\)时，\(x\cdot (2x-y)^5\)展开式中\(x^3y^3\)的系数为\(C_5^3\times 2^2\times (-1)^3=-40\)；

当\(r=2\)时，\(y\cdot (2x-y)^5\)展开式中\(x^3y^3\)的系数为\(C_5^2\times 2^3\times (-1)^2=80\)；

则\(x^3y^3\)的系数为\(80-40=40\)，故选\(C\)。

法2：排列组合法，构成\(x^3y^3\)的有两个来源：

其一，\(C_1^1\cdot x\cdot C_5^2\cdot (2x)^2\cdot C_3^3\cdot (-y)^3=-40x^3y^3\)；

其二，\(C_1^1\cdot y\cdot C_5^3\cdot (2x)^3\cdot C_2^2\cdot (-y)^2=80x^3y^3\)；

则\(x^3y^3\)的系数为\(80-40=40\)，故选\(C\)。

例4 【2017高考全国卷乙】\((1+\cfrac{1}{x^2})\cdot (1+x)^6\)的展开式中\(x^2\)的系数为【】

$A.15$ $B.20$ $C.30$ $D.35$

提示：选\(C\)。

其一：\(C_1^1\cdot 1\cdot C_6^2\cdot x^2\cdot C_4^4\cdot 1^4=15x^2\)；

其二：\(C_1^1\cdot \cfrac{1}{x^2}\cdot C_6^4\cdot x^4\cdot C_2^2\cdot 1^2=15x^2\)；

例5 \((x+\cfrac{1}{x})(2x-\cfrac{1}{x})^5\)的展开式中的常数项是多少？

分析：常数项来源于两个，

其一是\(C_1^1\cdot x\cdot [C_5^3(2x)^2(-\cfrac{1}{x})^3]\)，

其二是\(C_1^1\cdot \cfrac{1}{x}\cdot [C_5^2(2x)^3(-\cfrac{1}{x})^2]\)，

故常数项为\(C_5^32^2(-1)^3+C_5^22^3(-1)^2=40\)

例6 【最好用通项公式法】\((x^2-a)(x+\cfrac{1}{x})^{10}\)的展开式中\(x^6\)的系数为\(30\)，则\(a\)=【】

$A.\cfrac{1}{3}$ $B.\cfrac{1}{2}$ $C.1$ $D.2$

例7 【2019高三理科数学启动卷，2019陕西省二检试卷第11题】\((2x^2-x+1)^8\)的展开式中\(x^5\)的系数式【】

$A.1288$ $B.1280$ $C.-1288$ $D.-1280$

分析：使用组合法，其中项\(x^5\)的构成有以下几个角度：\(C_8^2\cdot (2x^2)^2\cdot C_6^1\cdot (-x)^1\cdot C_5^5\cdot 1^5\)；\(C_8^1\cdot (2x^2)^1\cdot C_7^3\cdot (-x)^3\cdot C_4^4\cdot 1^4\)；\(C_8^0\cdot (2x^2)^0\cdot C_8^5\cdot (-x)^5\cdot C_3^3\cdot 1^3\)；整理后其系数为\(-1288\)，故选\(C\)。

三、思维串线

• 用组合法肯定也能处理四项式，甚或五项式的问题；

• 与此类似的数学方法，比如我们常常用穿根法求解高次不等式，自然也能用之求解二次不等式，也能求解一次不等式，以及能转化为高次不等式的那些不等式。

• 解释二项分布中的概率计算公式的原理

一般的，在\(n\)次独立重复试验中，设事件\(A\)发生的次数为\(X\)，每次试验中事件\(A\)发生的概率为\(p\)，则事件\(A\)恰好发生\(k\)次的概率为\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，n\))，此时称随机变量\(X\)服从二项分布，记为\(X\sim B(n，p)\)，并称\(p\)为成功概率。

解释：二项展开式\([p+(1-p)]^n\)中，事件\(A\)发生\(k\)次，即对应展开式中的含\(p^k\)的项，其为\(C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\)，即\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，