二项式定理
内容
- \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k} = \sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^{n-k} y^k\)
证明方法1
- \((x+y)^n=x(x+y)^{n-1}+{\cdots}=xy(x+y)^{n-2}+{\cdots}=xyx(x+y)^{n-3}+{\cdots}={\cdots}\)
- 由上可知 对于每个 \(x\) 都有一条相乘的路径
- 如果选择 \(k\) 个 \(x\) 那么就会选择 \(n-k\) 个 \(y\)
- 那么我们可以得到式子 \(x^ky^{n-k}\)
- 对于每个组成的 \(x^ky^{n-k}\)
- 都可以是 在 \(n\) 个 \(x\) 中选择 \(k\) 个 \(x\)
- 那么 \(x^ky^{n-k}\) 的 个数 ( 即系数 ) 为 \(C{_n^k}\)
- 综上 \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k}\)
证明方法2
- 考虑用数学归纳法。
- 当
时，则 
- 假设二项展开式在
时成立。 - 设
，则有：
，（将a、b<乘入）
，（取出 
的项）
，（设 
）
，（ 取出 
项）
，（两者相加）
,（套用帕斯卡法则）
推论1
- 证明 \(C^0_n+C^1_n+C^2_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=2^n\)
- 令 \(x=y=1\)
- 由二项式定理得 \((1+1)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} 1^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k}\)
- 即 \(C^0_n+C^1_n+C^2_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=2^n\) 证毕
推论2
- 证明 \(C^0_n+C^2_n+C^4_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}=C^1_n+C^3_n+C^5_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}\)
- 令 \(x=-1,y=1\)
- 由二项式定理得 \((0)^n=C^0_n-C^1_n+C^2_n-C^3_n+C^4_n-{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=0\)
- 移项得 \(C^0_n+C^2_n+C^4_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}=C^1_n+C^3_n+C^5_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}\) 证毕