對數、底函數和頂函數、階乘和二項式系數

對數

對數中一個有用的底數是 $e$，其定義為

$e = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... = 2.718281828$

通常把 $log_ex$ 寫成 $lnx$，成為 $x$ 的自然對數，自然對數也定義為

$$ln \ x = \int _1^x\frac{1}{t}dt$$

換底公式：

      $log_ax = log_ab * log_bx$ 或 $log_ax = \frac{log_bx}{log_ba}$.

一個重要的等式：

      $x^{log_ay} = y^{log_ax}, \ \ x,y>0$.

可以通過兩邊取對數來證明。

底函數和頂函數

用 $\left \lfloor x \right \rfloor$ 來表示小於等於 $x$ 的最大整數，用 $\left \lceil x \right \rceil$ 表示大於等於 $x$ 的最小整數，例如

$\left \lfloor \sqrt 2 \right \rfloor = 1, \left \lceil \sqrt2 \right \rceil = 2, \left \lfloor -2.5 \right \rfloor = -3, \left \lceil -2.5 \right \rceil = -2$.

一些重要的等式：

當 $x$ 為整數時，$\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lceil x \right \rceil = x$.

當 $x$ 為實數時，$\left \lfloor -x \right \rfloor = -\left \lfloor x \right \rfloor$；

當 $x$ 為實數時，$\left \lceil -x \right \rceil = - \left \lceil x \right \rceil$.

一個很有用的定理：

定理：$f(x)$ 是單調遞增函數，使得若 $f(x)$ 是整數，則 $x$ 是整數。那么

$$\left \lfloor f(\left \lfloor x \right \rfloor) \right \rfloor = \left \lfloor f(x) \right \rfloor 或 \left \lceil f(\left \lceil x \right \rceil) \right \rceil = \left \lceil f(x) \right \rceil$$.

例如：$\left \lceil \sqrt{\left \lceil x \right \rceil} \right \rceil = \left \lceil \sqrt x \right \rceil$，$\left \lfloor log\ {\left \lfloor x \right \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor log\ x \right \rfloor$.

從這個定理出發得出，當 $n$ 是整數時， $\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor /n\right \rfloor = \left \lfloor x/n \right \rfloor$ 且 $\left \lceil \left \lceil x \right \rceil/n \right \rceil = \left \lceil x/n \right \rceil$.

例如，如果令 $x=n/2$，那么

$$\left \lfloor \left \lfloor \left \lfloor n/2 \right \rfloor/2 \right \rfloor/2 \right \rfloor = \left \lfloor\left \lfloor n/4 \right \rfloor /2 \right \rfloor = \left \lfloor n/8 \right \rfloor$$.

階乘

$n!$ 有一個近似公式是 String公式：

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$

例如用 String 公式，可以得到 $30! \approx 2.64e32$.

相對誤差大約是0.27%，但是絕對誤差還是很大的。

二項式系數

由二項式定理，

$$(1+x)^n = \sum_{i=1}^n\binom{n}{i}x^i$$

如果令 $x=1$，就有

$$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + ... + \binom{n}{n} = 2^n$$

從組合的角度講，這個恆等式表明在一個大小為 $n$ 的集合中，所有子集的個數為 $2^n$，這和我們的預期一樣。

如果令 $x=-1$，有

$$\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2}-...\pm \binom{n}{n} = 0$$

這表明奇數項的組合數數之和等於偶數項的組合數之和，即 $\sum_{j \ even}\binom{n}{j} = \sum_{j\ odd}^n\binom{n}{j}$.

如果分別令 $n=1,2,3...$，可以得到下面的展開式：$(1+x) = 1+x, (1+x)^2 = 1+2x+x^2, (1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3$，等等。取系數，就得到了楊輝三角，

               1
           1       1
       1        2        1
    1      3        3        1
  1     4      6         4      1
1    5      10    10       5      1

可以看到，$b$足夠大時，二項式系數是數 $(1+b)^n$ 用 $b$ 進制表示時各位上的數字。例如，10為基數，有 $11^0=1, 11^2 = 121, 11^3 = 1331, 11^4 = 14641$.