參考
二項式定理
\((x + y)^n =C_{n}^{0}x^ny^0+C_{n}^{1}x^{n-1}y^1+ \cdots +C_{n}^{n}x^0y^n = \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i}\)
證明
\((x+y) ^ 1 = x + y \\ \sum\limits_{i=0}^{1} x^{1-i}y^i = x^1y^0+x^0y^1=x+y\)
所以當 \(n=1\) 的時候二項式定理成立。
設 \(m=n+1\)，而且 \((x+y) ^ n = \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i}\) 成立。
\(\begin{aligned}(x+y)^m &= (x+y) \times (x+y)^{m-1} \\\\ &= (x+y) \times \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i}y^i \\\\ &=x \times \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i}y^i + y \times \sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}x^{n-j}y^j \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ （去括號）}\\\\ &= \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^i + \sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}x^{n-j}y^{j+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ （把 x，y 乘進去）}\\\\ &=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}x^{n-j}y^{j+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ （提出 i=0 的那一項）}\\\\ &=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{i=1}^{n+1}C_{n}^{i-1}x^{n-i+1}y^{i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ （用 i-1 表示 j）}\\\\ &=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i-1}x^{n-i+1}y^{i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ （提出 i=n+1 的那一項）}\\\\ &=x^{n+1}+y^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}(C_{n}^{i-1}+C_{n}^{i})x^{n-i+1}y^i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ （合並一下兩個求和）}\\\\ &=x^{n+1}+y^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}C_{n+1}^{i}x^{n-i+1}y^i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ （C_{n}^{i-1}+C_{n}^{i}=C_{n+1}^{i}）\\\\ &=\sum_{i=0}^{n+1}C_{n+1}^{i}x^{n+1-i}y^{i}\end{aligned}\)
所以當 \(m=n+1\)時二項式定理也成立，證畢。