楊輝三角與二項式定理

這篇博客主要參考劉汝佳的《算法競賽入門經典》。

下面是一個楊輝三角：

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

    我們再把(a+b)ⁿ展開，將得到一個關於x的多項式：
      (a+b)⁰ = 1
     (a+b)¹ = a + b
     (a+b)² = a² + 2ab + b²
     (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
     (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
     ……

    系數正好和楊輝三角一致。一般地，我們有二項式定理：

這個不難理解：(a+b)ⁿ是n個括號連乘，每個括號里任選一項乘起來都會對最后的結果又一個貢獻。如果選了k個a，就一定會選n-k個b，最后的項自然是a^n-kb^k。而n個a中選k個（同時也相當於n個b里選n-k個)有C^k_n，這就是組合數的定義。

  

給定n，如何求出(a+b)ⁿ所有項的系數呢？一個方法是遞推，根據楊輝三角中不難發現的規律，可寫出以下程序：

 

memset(c, 0, sizeof(c));
for(i = 0; i <= n; i++)
{
    c[i][0] = 1;
    for(j = 1; j <=n; j++) 
    {
        c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
    }
}

 

但遺憾的是，這個算法的時間復雜度是O(n²)，盡管只用了楊輝三角的第n行的n+1個元素，但是卻把全部n行的O（n²）個元素都計算了一遍。

 

另一個方法是利用等式

 

 

c[0]=1;
for(i = 1; i <= n; i++) 
{
    c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;
}

 

 注意，先乘后除，因為c[i-1]/i可能不是整數。但這樣一來增加了溢出的可能性——即結果可能在int或long long 范圍之外，乘法也可能溢出。如果擔心這樣的情況發生，可以先約分，不過一般來說是不必要的。