普通的牛頓二項式定理在高中學習過的，當乘方為正整數的時候，但是有些時候需要用到不一定是正整數的情況（比如生成函數），需要用到分數或者負數等等，於是廣義牛頓二項式定理就出來了。
首先我們引入牛頓二項式系數${r \choose n}$。
牛頓二項式系數定義:
設r為實數，n為整數，引入形式符號
$${r \choose n}=
\begin{cases}
0， & n<0\\
1， & n=0\\
\frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0
\end{cases}$$
廣義牛頓二項式定理：
$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$
其中x，y，α為實數，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$
證明：
證明需要用到數學分析的知識，沒學過的話，應該看不懂2333。
令$z=\frac{x}{y}$則有：
$(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$
設$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，於是有：
$f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$
因此，當z0=0時，這個函數的泰勒公式（此時應該稱為麥克勞林展開式）有如下形式：
$(1+z)^{\alpha} =1+\frac{\alpha}{1!}z+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}z^{2}+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}z^{n}+r_n(0;z)$
也就是：
$(1+z)^{\alpha}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+r_n(0;z)$
將余項使用柯西公式得：
$r_n(0;z)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}{n!}(1+ξ)^{\alpha -n}(z-ξ)^{n}z$
其中ξ介於0到z之間.
將余項變形一下可得:
$r_n(0;z)=\alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})(1+ξ)^{\alpha}(\frac{z-ξ}{1+ξ})^{n}z$
因為當$\mid z\mid <1$的時候，從ξ在0和z之間這個條件可以推出:
$\mid \frac{z-ξ}{1+ξ}\mid =\frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{\mid 1+ξ\mid}\leq \frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{1-\mid ξ\mid}=1-\frac{1-\mid z\mid}{1-\mid ξ\mid}\leq 1-(1-\mid z\mid)=\mid z\mid$
於是$\mid r_n(0;z)\mid \leq\mid \alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})\mid (1+ξ)^{\alpha}\mid z\mid ^{n+1}$
因為$\mid r_{n+1}(0;z)\mid\leq\mid r_n(0;z)\mid \times \mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid$又因為$\mid z\mid <1$，所以，如果$\mid z\mid <q<1$，則不管$\alpha$值如何，對於足夠大的n將有$\mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid <q<1$，這就是說當$n\rightarrow\infty$時，有$r_n(0;z)\rightarrow 0$，由此說明當$\mid z\mid <1$的時候，無窮級數$1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+\cdots (*)$收斂於$(1+z)^{\alpha}$。
這時對於式子$y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$將左邊展開成無窮級數再將$y^\alpha$乘上就得到了我們的$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$
當$\mid z\mid >1$時，由達朗貝爾比值檢驗法可以得出，只要$\alpha\notin\mathbb{N}$，級數(*)總是發散的。
特別地，當$\alpha\in\mathbb{N}$時，對函數$f(z)$來說，任意高於n階的導數均為0，余項為0，直接展開就完事了，展開得到的就是高中學過的二項式定理。
參考資料卓里奇的《數學分析》與屈婉玲《離散數學》