反演原理及二項式反演

$g_n = \sum_{i=0}^n a_{ni}f_i$

反演過程就是利用

$f_n = \sum_{i = 0}^n b_{ni}g_i$

這樣的話，我們只需要知道 $\{g_n\}$ 的求解方法和 $\{g_n\}$ 和 $\{f_n\}$ 的關系，就可以快速求解 $\{f_n\}$

本質上來說，反演其實是一個解線性方程組的過程，但是你觀察后發現，這個矩陣實際上是一個三角矩陣，那必然存在着快捷的方法。對於使得這兩個反演公式成立的這些系數應該滿足什么條件呢？我們現在就來探討一番！

我們首先討論一下在什么情況下能夠比較容易建立反演公式，之后介紹二項式反演以及它的兩個應用，其中一個是錯位排列問題

反演原理

首先我來介紹一個

$\delta_{ij} = \left \{ \begin{eqnarray*} 0 ~ ~ ~ ,i \neq j\\ 1 ~ ~ ~ ,i = j \end{eqnarray*} \right .$

這個函數的定義非常簡單，我介紹它完全是為了后面敘述的方便

好，我們現在來考慮一下上面的式子，假設對於任意

$g_n = \sum_{i=0}^n a_{ni}f_i$

那么我們來考慮一下下面這個式子成立應該要滿足什么條件

$\begin{equation} \label{inversion-2} \sum_{i = 0}^n b_{ni}g_i = f_n \end{equation}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$(1)$

我們可以直接將

$\begin{eqnarray*} & & \sum_{i=0}^n b_{ni}g_i \\ &=& \sum_{i=0}^n b_{ni} \sum_{j=0}^i a_{ij}f_j \\ &=& \sum_{i=0}^n f_i \sum_{j=i}^n b_{nj}a_{ji} \end{eqnarray*}$

對於最后一步，實際上是變換了求和順序，為了更容易理解，我按照矩陣的形式寫出來

那么，前一個求和是先對行進行，再將各行加起來，后一個就是先對列進行，再將各列加起來

這樣的話，等式$1$

$\sum_{j=i}^n b_{nj}a_{ji} = \delta_{ni}$

同樣地，我們反過來也能知道，整個反演公式要成立還需要滿足一個必要條件

$\sum_{j=i}^n a_{nj}b_{ji} = \delta_{ni}$

也就是，如果你發現某個數列滿足上面這個條件，那么你就可以直接建立起反演公式！

事實上，在快速傅立葉變換和逆變換你也可以認為是一個反演的過程，具體可以看這一步的推導，你會發現它和這個很相似。此外，第一類 Stirling 數和第二類 Stirling 數也滿足這個條件，不過我暫時沒有發現它們建立起的反演公式有什么應用。我下面來介紹一個比較有用的反演公式

二項式反演

下面就來介紹二項式反演（binomial inversion），這可以表示成

$f_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i$

你會發現這個式子具有極強的對稱性！另外一個更加常見的形式是

$f_n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f_i$

現在我們先來給出這個公式的一個容斥解釋，之后從代數角度證明一下這個式子，最后介紹兩個它的應用

代數證明

根據文章開頭反演原理部分的討論，加上這個公式的對稱性，我們只需要證明

$\sum_{i=j}^n (-1)^{i+j} {n \choose i}{i \choose j} = \delta(i, j)$

這里

好，現在我們來證明它，首先需要一個二項式系數的知識

如果運用組合推理就相當於是，你有一個

接下來換一種方式，先對

這樣最后就可以得到

於是，反演公式就建立了！

容斥原理證明

實際上，二項式反演是容斥原理（inclusion-exclusion principle）的一種最常見的特例子，讓我們先來回憶一下容斥原理

設集合

那么，考慮這樣一種特殊的情況，若對於集族

$g_i = |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n|$

明顯的，在

這樣一來，上面的容斥結果就是

$\begin{eqnarray*} & &|\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \cdots \cap \overline{A_n}| \\ &=& g_0 - {n \choose 1} g_1 + {n \choose 2} g_2 + \cdots + (-1)^n {n \choose n} g_n \end{eqnarray*}$

由於

$f_i = |\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \cdots \cap \overline{A_i}|$

同樣令

這也正是

應用

錯位排列問題

求有多少個長度為

這個問題有很多解法，我們來介紹一個有意思的解法：

為了敘述方便，我們稱位置

首先我們知道，如果不考慮

$n! = \sum_{i=0}^n {n \choose i} f_i$

是否覺得和剛剛的反演公式很相似？這里的

$\begin{eqnarray*} f_n &=& \sum_{i=0}^n (-1)^{n+i} {n \choose i} i! \\ &=& \sum_{i=0}^n (-1)^{n+i} \frac{n!}{(n-i)!} \\ &=& n!\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{i!} \\ \end{eqnarray*}$