楊輝三角、二項式系數、組合數、斐波那契數列

 

楊輝三角

 

楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。

排列信息:

 

楊輝三角有多種重要的性質。

概述：

 

前提：每行端點與結尾的數為1.

1. 每個數等於它上方兩數之和。
2. 每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。
3. 第n行的數字有n項。
4. 第n行數字和為2^n-1。
5. 第n行的m個數可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。
6. 第n行的第m個數和第n-m+1個數相等 ，為組合數性質之一。
7. 每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等於第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
8. (a+b)ⁿ的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。
9. 將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。
10. 將各行數字相排列，可得11的n-1（n為行數）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……當n>5時會不符合這一條性質，此時應把第n行的最右面的數字"1"放在個位，然后把左面的一個數字的個位對齊到十位... ...，以此類推，把空位用“0”補齊，然后把所有的數加起來，得到的數正好是11的n-1次方。以n=11為例，第十一行的數為：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，結果為 25937424601=11¹⁰。

 

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