斐波那契數列通項公式

定義

斐波那契數列指的是每一項都等於前兩項之和的數列，定義為F[1]=1，F[2]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2]（n>=3）。

通項公式

我們先來研究形如F[n]=c₁F[n-1]+c₂F[n-2]的數列。
對於這樣的數列，F[n]-xF[n-1]與F[n-1]-xF[n-2]的比值一定是一個定值，即：

將其進行移項運算，得：

對應得：

回到斐波那契數列的問題中來，把c₁=c₂=1代入特征方程組得：

解得：

兩組解分別記為x₁、y₁、x₂、y₂。

再看：

此式是一個公比為y的等比數列，第一項為F[1]-xF[0]，第二項為F[2]-xF[1]，以此類推，第n項為F[n]-xF[n-1]，根據等比數列公式F[n]=F[1]q^n-1得：

將兩組x、y的解代入得方程組：

將x₁=y₂；x₂=y₁代入后，解得：

因為F[0]，F[1]，x₁，x₂均為已知，可記為常項，得到斐波那契數列的通項公式：

又因為F[1]=F[2]=1，所以得到方程組：

解得：

因此，斐波那契數列的通項公式為：