斐波那契數列

斐波那契數列如下：

　　　　1，2，3，5，8，13，21，34，……

　　　　如果設F(n）為該數列的第n項（n∈N*），那么這句話可以寫成如下形式：

　　　　F(n)=F(n-1)+F(n-2)

通項公式如下：

　　　　

 

遞歸實現：

　　　　直接按照遞推公式實現，

　　　　由通項公式可以得到：當n趨近於無窮大時

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　由於T(n)≥F(n)，這是一個指數階的算法

　　　　如果我們今年計算出了F(100)，那么明年才能算出F(101)，

　　　　爆炸增量函數是算法設計的噩夢。

int fib(int n)
{
    if( n < 1)
        return -1;
    if( n == 1 || n == 2)
        return 1;
    return fib( n-1) + fib( n-2);
}

 數組優化：

　　　　既然斐波那契數列中的每一項是前兩項之和，如果記錄前兩項的值，只需

　　　　要一次加法運算就可以得到當前項，那么可以使用數組。復雜度為O(n)。

int fib( int n)
{
    if( n < 1)
        return -1;
    int *a = new int [n];
    a[1] = a[2] = 1;
    for( int i = 3; i <= n; i++)
        a[i] = a[i-1]+a[i-2];
    return a[n];
}

 迭代法：

　　　　其實只需要得到第n個斐波那契數，中間結果只是為了下一次使用，不需要

　　　　記錄，因此可以采用迭代法進行設計。使用若干輔助變量，迭代輾轉相

　　　　加，每次記錄前一項，時間復雜度為O(n)，空間復雜度降到O(1)。

int fib( int n)
{
    int i, s1, s2;
    if( n < 1)
        return -1;
    if( n == 1 || n == 2)
        return 1;
    s1 = s2 = 1;
    for( i = 3; i <= n; i++)
    {
        s2 = s1+s2;
        s1 = s2-s1;
    }
    return s2;
}

對數階：

　　　　實質上，斐波那契數列時間復雜度還可以進一步降低到對數階O(logⁿ)。

　　　　我們每次遞歸都將a+b的值賦給a,把a的值賦給b，通過觀察可以發現,從1和

　　　　0開始將規則反復應用n次，將產生一對數fib(n)和fib(n+1),

　　　　現在將這種規則看成a = bq + aq + a*pb = bp + aq,其中p=0,q=1。把這種變

　　　　換稱為T變換,Tpq 變換有個特性是 ：

　　　　Tpq 的二次方等於Tp'q', p' = pp + qq'q' = 2pq + q*q。

　　　　即：a = (bp+aq)p+(bq+aq+ap)q+(bq+aq+ap)p

　　　　　　   = b(2pq+q^2)+a(p^2+2pq+2q^2)

　　　　　　b = (bp+aq)p+(bq+aq+ap)q = b(p^2+q^2)+a(q^2+2pq)
　　　　此處p=0，q=1

int fib_iter( int a, int b, int count)
{
    if( count == 0)
        return b;
    return fib_iter( a+b, a, count-1);
}
int fib( int n)
{
    return fib_iter( 1, 0, n);
}