類斐波那契數列的奇妙性質

1、1、2、3、5、8、13、21、……。這個數列稱為斐波那契數列（Fibonacci Sequence）。

它有個奇妙的性質，記F_N為斐波那契數列的第N項，則當N比較大的時候

F_N/F_N+1≈0.618

 

斐波那契數列有兩個常見的通項公式（具體的推導過程就忽略了）

1、

F_N=F_N-1+F_N-2（N>2），F₁=1，F₂=2

 

2、

 

這個數列的前兩項F₁=1，F₂=1才稱為斐波那契數列，如果這個數列的前兩項是其他數字（正數），並且還有F_N=F_N-1+F_N-2（N>2）的遞推關系，那么這樣的數列，我稱之為類斐波那契數列，它是否還有當N比較大的時候，F_N/F_N+1≈0.618這個奇妙的性質呢？

 

答案是肯定的，比方說前兩項是2和7，這個數列就是

2、7、9、16、25、41、66、……

F₁₆=5024，F₁₇=8129，F₁₆/F₁₇=0.618034199

這不是巧合，你換什么數字（正數）都一樣

 

下面就給出該性質的證明

假設數列為F_N=F_N-1+F_N-2（N>2），F₁=A，F₂=B，（A>0，B>0），證明：

 

1、利用特征方程求出該數列的通項公式

∵F_N=F_N-1+F_N-2

∴特征方程為X²=X+1

∴

∴該數列的通項公式為

，其中C₁和C₂是常數，可以利用F₁=A，F₂=B求出。不過和本證明沒啥太大的關系，沒必要求出

 

題外話：想當年在高中的時候，費了九牛二虎之力求出斐波那契數列的通項公式，歡欣雀躍了很久。現在卻發現在線性代數里用特征方程很簡單的就求出了通項公式，真是悲哀啊。回頭看看，有些年的高考數學壓軸題，其實用大學里的數學知識去求解是很簡單的。然而在高考中，卻要使考生費九牛二虎之力，這算不算一種悲哀呢。再回頭看看，有些小學奧數班的內容，用高中的知識很容易解決，但是非得把小學生繞得雲里霧里，這算不算是一種悲哀呢

 

2、利用通項公式求出比值的極限

∵

∴

得證

 

這就證明了類斐波那契數列也有當N比較大的時候，F_N/F_N+1≈0.618這個奇妙的性質

 

玩個游戲吧，現在你想兩個正數，然后相加得到第三個數，第二個數和第三個數相加得到第四個數，第三個數和第四個數相加得到第五個數，以此類推。

然后告訴我第十個數是多少？是280？那我告訴你第十一個數是453。你僅僅告訴我第十個數，沒有透露任何其他消息，你沒透露第九個數，我是怎么知道第十一個數呢？這不是巧合，而是通過計算而來的，你想明白了么？不明白的話，看看上面的證明，呵呵。