Dilworth定理證明

 命題：偏序集能划分成的最少的全序集的個數與最大反鏈的元素個數相等。

（離散數學結構第六版課本P245：把一個偏序集划分成具有全序的子集所需要的最少子集個數與元素在偏序下都是不可比的最大集合的基數之間有什么關系？）

 

證明：

設偏序集S。S能划分成的最少的全序集的個數為K，S的最大反鏈的元素個數為M。

1. 先證明K>=M。設反鏈A={a1,a2,...,aM}。假設K<M，那么由抽屜原理，必然有兩個元素ai,aj在同一個全序集中。那么ai,aj可比。與ai,aj不可比矛盾。

2. 再證明K=M。用第二數學歸納法。

　　設全序集S中有m個元素。

　　(1)當m=0和m=1時，對於命題結論顯然成立。

　　(2)假設m<n(n∈N+)時命題成立，現在證m=n時，命題也成立。

　　設x為S中的一個極大元。考慮S'=S-{x}這個偏序集。由於|S'|<n，由歸納假設，S'滿足命題。設 S' 能划分成的最小的全序集個數為k，最大反鏈的元素個數也為k。那么我們設S'被划分成了k個鏈分別為C₁,C₂,...,C_k。設所有長度為k的反鏈分別為A₁,A₂,...,A_r。（假設有r條長度為k的反鏈）

　　那么對於任意一個A_i，A_i的元素必定是k條鏈上，每條鏈取一個元素。設為a_i1,a_i2,...,a_ik。

　　那么我們考慮集合B= {b₁,b₂,...,b_k}={ max(a_i1), max(a_i2), max(a_i3), ... , max(a_ik) }。 這個集合一定也是一條反鏈。（用反證法很容易證明：假設存在兩個元素b_i,b_j可比，不妨設b_i<=b_j，其中b_i和b_j分別位於鏈C_i和C_j上。那么b_i所在鏈的每個a_ix都與b_j可比，與C_i上存在一個a_ix與b_j不可比矛盾。）（加粗的地方之所以是正確的，是因為C_i與C_j上肯定有兩個元素屬於同一條反鏈）

　　現在考慮加入元素x的集合S。一個顯然的事實是，加入一個極大元，不可能讓划分的最少鏈個數更少，但是也不能讓鏈的個數增加2及以上（否則肯定不滿足最少鏈）。也不能讓反鏈的最大長度更小。

　　分兩種情況：

　　①如果x這個極大元與B中每個元素都不可比。那么考慮B∪{x}，就是一個長度為k+1的反鏈。那么最少能划分的鏈的個數至少是k+1。而加入一個元素，鏈的條數至多增加1。因此，鏈的最少條數就是k+1。這樣，對於這種情況，命題對於m=n時也成立了。

　　②如果x與B中的某個元素可比，假設x與bi可比，那么顯然x>=b_i：

　　考慮集合 D={a_i1,a_i2,...,a_ir}∪{x}。D顯然也是一條鏈。 現在考慮S''=S-D這個集合。由於每個長度為k的鏈都被我們抽掉了一個元素，所以集合S''不會有長度為k的反鏈了，而長度為k-1的反鏈顯然是存在的（按照原來的構造）。由歸納假設，S''最少能划分成的鏈也是k-1。不妨設划分為了C'1，C'2，...,C'k-1。

　　那么，我們對S就構造出了k條鏈的情況：C'₁，C'₂，...,C'_k-1,D。

　　所以反鏈的長度最大為k了。而去掉x就已經可以構造出長度為k的反鏈，因此S的最大反鏈至少是k。因此最大反鏈就是k。

　至此，證明結束。

參考文獻：http://aleph.math.louisville.edu/teaching/2009FA-681/notes-091119.pdf