度娘定義：在數學理論中的序理論與組合數學中，Dilworth定理根據序列划分的最小數量的鏈描述了任何有限偏序集的寬度。其名稱取自數學家Robert P. Dilworth。
反鏈是一種偏序集，其任意兩個元素不可比；而鏈則是一種任意兩個元素可比的偏序集。Dilworth定理說明，存在一個反鏈A與一個將序列划分為鏈族P的划分，使得划分中鏈的數量等於集合A的基數。當存在這種情況時，對任何至多能包含來自P中每一個成員一個元素的反鏈，A一定是此序列中的最大反鏈。同樣地，對於任何最少包含A中的每一個元素的一個鏈的划分，P也一定是序列可以划分出的最小鏈族。偏序集的寬度被定義為A與P的共同大小。
另一種Dilworth定理的等價表述是：在有窮偏序集中，任何反鏈最大元素數目等於任何將集合到鏈的划分中鏈的最小數目。一個關於無限偏序集的理論指出，在此種情況下，一個偏序集具有有限的寬度w，當且僅當它可以划分為最少w條鏈。
歸納性證明
令P為一有限偏序集，理論認為P為空集時顯然成立。假設P最少有一個元素，令a為P中的極大值。
根據歸納法，假設存在一整數k，使得偏序集
可以被k個不相交的鏈
覆蓋，且最少存在一個大小為k的反鏈
。顯然，
，
。令
為
的極大值，
，
為
中大小為k的反鏈，令
，
為包含
的大小為k的反鏈。確定任意不等的索引
，那么
。令
，根據
的定義，
。因此，由
推斷出
。通過交換
，可以得到
。由此得證，A為反鏈。
現在來討論P。首先假設，
，
。令K為鏈
。那么，通過選擇
，使得
不包含大小為k的反鏈。由於
是
中大小為k-1的反鏈，歸納推出
可以被k-1個不相交的鏈覆蓋。因此，正如所需要證明的，P可以被k個不相交的鏈覆蓋。其次，如果
，
，那么由於a是P的極大值，
為P中大小為k+1的反鏈。現在，P可以被k+1個鏈
覆蓋。到此，定理全部證明結束。
下面 正文開始（如果你上面的內容看懂了，請給我講一講，畢竟我也只是一直來自春田花花幼兒園的蒟蒻）
對於dilworth定理，我的理解就是：
在一個序列中 最長下降子序列的個數就等於其最長不下降子序列的長度
舉例：1 2 3 2 3
最長下降子序列：3 2-->長度為2
最長上升子序列：1 2 3-->長度為3
反之也一樣。
那么，你明白了嗎？
反正我是明白了