偏序集：We define a Partially Ordered Set, or a Poset, as a set P with a partial ordering defined on it’s elements. I.e, for any two elements x and y of P, either x ≤ y, y ≤ x (x and y are comparable), or x || y (x and y are incomparable).
鏈（chain）是一個偏序集S的全序子集（所謂全序是指任意兩個元素可比較）
反鏈（antichain）是一個偏序集S的子集，其中任意兩個元素不可比較
極大（maximal）鏈:對一個鏈C，如果找不到另一個鏈C'，使得C是C'的真子集，那么稱鏈C是極大的
極大（maximal）反鏈：對一個反鏈A，如果找不到另一個反鏈A'，使得A是A'的真子集，那么稱反鏈A是極大的
最大鏈（maximum/longest）：鏈C包含元素個數不少於任意其他鏈C'，則C是最大鏈
最大反鏈（maximum/largest）：類似最大鏈定義
（易見，最大鏈必然是極大鏈，最大反鏈必然是極大反鏈，可以用反證法）
偏序集S的最大鏈的大小稱為偏序集S的高度（height）
偏序集S的最大反鏈的大小稱為偏序集S的寬度（width）
Proposition 1. A maximal chain in a finite nonempty poset（偏序集, partially ordered set） must contain a maximal element of
S (and a minimal element).
（所謂maximal element，是指：如果對x，不存在元素y使得x≤y，則x是maximal element）
（此處≤表示偏序關系，不是“小於或等於”，下同）
證明：考慮這個最大鏈的maximal element x，如果x是S中的maximal element，已經得證；若否，則存在S中元素z，使得z≤x
，由偏序關系的傳遞性，鏈中的每個元素都≤z，於是將z加入鏈將得到一個更大的鏈，矛盾。同理可證， 最大鏈也包含S的一個minimal element
Proposition 2. The set of maximal elements of a finite poset S is a maximal antichain; likewise,
the set of minimal elements of a nite poset S is a maximal antichain.
證明：（僅針對maximal，minimal類似）首先極大元素組成的集合（記為M）是個反鏈，因為任取兩個元素x, y，x≤y不成立，否則x不是maximal；y≤x同樣不成立，因此x和y不可比較，所以M中任意兩個元素都不可比較，是反鏈。
然后證明它是極大的。考慮剩下元素（S-M）中任意一個z，我們要證明如果把z添加到M中，將破壞反鏈的性質。首先z不是極大的，因為極大元素都在M中，所以存在z2使得z≤z2，如果z2是極大的，則加入z將使得M中的z和z2可比較；如果z2不是極大的，可以繼續找z3，使得z2≤z3……，直到找到zk是極大的，根據傳遞性，z≤zk，加入z將使得M中的z和zk可比較。因此剩下元素中的每一個都不能加到M中，所以M是極大反鏈。
Proposition 3. Suppose P is partitioned into a finite set of chains C1, C2 ... Cn. If A is an
antichain, then there is at most one element of A in each Ci; thus n >= |A|.
證明：很顯然，如果A中有兩個元素屬於某個Ci，那么Ci就違反了鏈的性質——任意兩個元素可比較
既然如此，n >= |A|也是很自然的
這個證明比較復雜，第一句是證明存在性，比較難；后面還是相對容易的，每個Ci都恰好包含1個A中的元素，而且不可能有一種划分，使得鏈的個數小於n（否則就會有某個鏈至少含有2個A中的元素，那就不是鏈了）
Corollary 1. If |S| > mn, then S has either height of at least m + 1 or width of at least n + 1.
證明：假設S最長鏈大小為u，最大反鏈大小為v，根據Dilworth定理，S可以划分為v個鏈，C1, ..., Cv，|Ci|<=u且
|C1|+|C2|+...+|Cv|=|S|
反證：如果高度<=m且寬帶<=n，即u<=m, v <= n,則|S|=|C1|+|C2|+...+|Cv|<=u*v = m*n，矛盾
理解起來應該類似於Dilworth定理，如果對證明感興趣，看http://aleph.math.louisville.edu/teaching/2009FA-681/notes-091119.pdf
本篇文章均整理自這個文檔，這只是一個筆記