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Dilworth定理優化“序列的不下降子序列最少划分數
首先是定義。
偏序關系是滿足自反性、反對稱性、傳遞性的二元關系。可以用<=表示。
自反性：x<=x成立。
反對稱性：a<=b 且 b<=a <=> a=b
傳遞性：a<=b 且 b<=c ==> a<=c
滿足上述三條性質的二元關系是偏序關系，配備偏序關系的集合稱為偏序集。
顯然數集上的“小於或等於”是偏序關系，但是偏序關系不只可以在數集上。
可比：a與b可比，當且僅當a<=b 或 b<=a。
設全集U是一個偏序集。
鏈：U的子集，滿足其中任意兩個元素（不相同）可比。
反鏈：U的子集，滿足其中任意兩個元素（不相同）不可比。
比如，有限數集S上的最長鏈的長度等於|S|，最長反鏈長度為1.
將U分拆成很多子集稱作划分。姑且把子集全為鏈的划分叫做鏈划分，全為反鏈叫反鏈划分。
有兩個互相對偶的定理：
U的鏈划分使用的最少集合數，等於它的最大反鏈長度。（1）
U的反鏈划分使用的最少集合數，等於它的最大鏈長度。（2）
其中某一個叫做Dilworth定理……我記不清了……
如果我說的不清楚，請參閱任意一本組合數學的入門書籍。
那么，羅嗦了半天，來到那個問題：給定一個全為實數的序列，每次在其中選出一個不下降子序列並將其刪掉。求刪完整個序列所需要的選擇子序列的次數。
比如說，1 2 4 3 5這個序列，最少要兩次，第一次1 2 3 5.
雖然序列與集合不同，但這很可能與最少划分有關。不管怎么說，打算用Dilworth定理相關內容解決本題。
首先要把序列轉化成集合。不同點在於序列中元素有序。考慮使用有序數對（p，v）表示原序列中的一個數。p表示位置，v表示數值。
從集合中任意取出兩個元素，如何能確定前者不比后者大呢？考慮關系<=:p1<=v1&&p2<=v2。這相當於先把兩個元素按照原序列中的位置排序，再比較數值大小。這個關系是偏序關系。如此一來，兩個元素可比，等價於在原序列中，他們是不下降的。
根據（1），原題所求的次數，等於原序列的最長下降子序列的長度。
如果是求下降子序列的最小划分，相當於是求最小反鏈划分，等於最長不下降子序列的長度。
偏序關系是滿足自反性、反對稱性、傳遞性的二元關系。可以用<=表示。
自反性：x<=x成立。
反對稱性：a<=b 且 b<=a <=> a=b
傳遞性：a<=b 且 b<=c ==> a<=c
滿足上述三條性質的二元關系是偏序關系，配備偏序關系的集合稱為偏序集。
顯然數集上的“小於或等於”是偏序關系，但是偏序關系不只可以在數集上。
可比：a與b可比，當且僅當a<=b 或 b<=a。
設全集U是一個偏序集。
鏈：U的子集，滿足其中任意兩個元素（不相同）可比。
反鏈：U的子集，滿足其中任意兩個元素（不相同）不可比。
比如，有限數集S上的最長鏈的長度等於|S|，最長反鏈長度為1.
將U分拆成很多子集稱作划分。姑且把子集全為鏈的划分叫做鏈划分，全為反鏈叫反鏈划分。
有兩個互相對偶的定理：
U的鏈划分使用的最少集合數，等於它的最大反鏈長度。（1）
U的反鏈划分使用的最少集合數，等於它的最大鏈長度。（2）
其中某一個叫做Dilworth定理……我記不清了……
如果我說的不清楚，請參閱任意一本組合數學的入門書籍。
那么，羅嗦了半天，來到那個問題：給定一個全為實數的序列，每次在其中選出一個不下降子序列並將其刪掉。求刪完整個序列所需要的選擇子序列的次數。
比如說，1 2 4 3 5這個序列，最少要兩次，第一次1 2 3 5.
雖然序列與集合不同，但這很可能與最少划分有關。不管怎么說，打算用Dilworth定理相關內容解決本題。
首先要把序列轉化成集合。不同點在於序列中元素有序。考慮使用有序數對（p，v）表示原序列中的一個數。p表示位置，v表示數值。
從集合中任意取出兩個元素，如何能確定前者不比后者大呢？考慮關系<=:p1<=v1&&p2<=v2。這相當於先把兩個元素按照原序列中的位置排序，再比較數值大小。這個關系是偏序關系。如此一來，兩個元素可比，等價於在原序列中，他們是不下降的。
根據（1），原題所求的次數，等於原序列的最長下降子序列的長度。
如果是求下降子序列的最小划分，相當於是求最小反鏈划分，等於最長不下降子序列的長度。