射影定理

前言

在初中和高中階段，我們接觸和使用的射影定理有以下兩種形式。

射影定理1

直角三角形射影定理，又叫歐幾里德(Euclid)定理，其內容：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

符號語言：如圖，\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle BAC=90°\)，\(AD\)是斜邊\(BC\)上的高，則有射影定理如下：

\[➊AD^2=BD\cdot DC \]

\[➋AB^2=BD\cdot BC \]

\[➌AC^2=CD\cdot BC \]

證明：這主要是由相似三角形來推出的，

例如，證明\(AD^2=BD\cdot DC\)，

在\(\triangle BAD\)與\(\triangle ACD\)中，\(∠B=∠DAC\)，\(∠BDA=∠ADC=90°\)，

故\(\triangle BAD\sim\triangle ACD\)，所以 \(\cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}\)，

所以得到，\(AD^2=BD\cdot DC\). 其余仿此證明；

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。

比如由公式➋+➌得到，

\(AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2\)，

即\(AB^2+AC^2=BC^2\)，這就是勾股定理的結論。

射影定理2

任意三角形射影定理注釋：以“\(a\)\(＝\)\(b\cdot\cos C\)\(＋\)\(c\cdot\cos B\)”為例，\(b\)、\(c\)在\(a\)上的射影分別為\(b\cdot\cos C\)、\(c\cdot\cos B\)，故名射影定理。\(\quad\)，又稱“第一余弦定理”，其內容為：三角形的任意一邊的長等於其他兩邊在這條邊上的射影之和。

符號語言：設\(\triangle ABC\)的三邊是\(a\)、\(b\)、\(c\)，它們所對的角分別是\(A\)、\(B\)、\(C\)，則有：

\[➊a＝b\cdot\cos C＋c\cdot\cos B \]

\[➋b＝c\cdot\cos A＋a\cdot\cos C \]

\[➌c＝a\cdot\cos B＋b\cdot\cos A \]

[證法1]：設點\(C\)在直線\(AB\)上的射影為點\(D\)，

則\(AC\)、\(BC\)在直線\(AB\)上的射影分別為\(AD\)、\(BD\)，

且\(AD=b\cdot\cos A\)，\(BD=a\cdot\cos B\)，

故\(c=AD+BD=b\cdot\cos a＋a\cdot\cos B\). 同理可證其余。
　　
[證法2]：由正弦定理，可得：\(b=\cfrac{a\sin B}{\sin A}\)，\(c=\cfrac{a\sin C}{\sin A}\)

即\(c=\cfrac{a\sin(A+B)}{\sin A}=\cfrac{a(\sin A\cos B+\cos A\sin B)}{\sin A}\)

\(=a\cos B+(\cfrac{a\sin B}{\sin A})\cos A=a\cdot\cos B＋b\cdot\cos A\). 同理可證其余。

[證法3]：以向量三角形為案例，

給\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)，兩邊同乘以向量\(\overrightarrow{CB}\)，

得到\(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{CB}\)，

即\(\overrightarrow{CB}^2=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}\)

即\(\overrightarrow{CB}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}>-|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}>\)

即\(\overrightarrow{CB}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos B>-|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos(\pi-C)\)

即\(a^2=c\cdot a\cdot\cos B+b\cdot a\cdot\cos C\)，兩邊約去\(a\)，

得到\(a=c\cdot\cos B+b\cdot\cos C\)，即得到射影定理，也稱第一余弦定理。

使用場景

引例，如\(\cfrac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\cfrac{\sin A\sin B}{a\cos B+b\cos A}\)，

由射影定理2，將\(a\cdot\cos B＋b\cdot\cos A=c\)，代入上式，

即\(\cfrac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\cfrac{\sin A\sin B}{c}\)，

即得到\(a^2+b^2-c^2=ab\)，接下來的思路自然就通暢無阻了.

典例剖析

在 \(\triangle ABC\) 中， 內角 \(A\)， \(B\)， \(C\) 的對邊分別是 \(a\)， \(b\)，\(c\) 若 \(a\cos B-b\cos A=\cfrac{c}{2}\)，則表達式\(\cfrac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}\) 的最小值為____________.

解析: 在 \(\triangle ABC\) 中, \(c=a \cos B+b \cos A\)，[射影定理]

聯立 \(\left\{\begin{array}{l}c=a\cos B+b\cos A \\ a\cos B-b\cos A=\cfrac{c}{2}\end{array}\right.，\) 解得\(\cos A=\cfrac{c}{4b}\)，\(\cos B=\cfrac{3c}{4a}\)，

所以 \(\cfrac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}=\cfrac{a\cdot\cfrac{c}{4b}+b\cdot\cfrac{3c}{4a}}{a\cdot\cfrac{3c}{4a}}\)

\(=\cfrac{1}{3}(\cfrac{a}{b}+\cfrac{3 b}{a})\geq\cfrac{1}{3}\times 2\sqrt{\cfrac{a}{b}\cdot\cfrac{3b}{a}}\)

\(=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

當且僅當 \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{3 b}{a}\) 時，等號成立.

故\(\cfrac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}\) 的最小值為\(=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)；

【2022高三月考試題】兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上， 若球的體積為 \(\cfrac{32\pi}{3}\)，兩個圓錐的高之比為 \(1:3\)，則這兩個圓錐的體積之和為【\(\qquad\)】

$A.3\pi$ $B.4\pi$ $C.9\pi$ $D.12\pi$

【解答】解: 如圖, 設球 \(O\) 的半徑為 \(R\)， 由題意， \(\cfrac{4}{3} \pi R^{3}=\cfrac{32 \pi}{3}\)，

可得 \(R=2\)， 則球 \(O\) 的直徑為 \(4\)， 兩個圓錐的高之比為 \(1:3\)， \(AO_{1}=1\)， \(B O_{1}=3\)，

由直角三角形中的射影定理可得: \(r^{2}=1\times 3\)， 即 \(r=\sqrt{3}\).

所以這兩個圓錐的體積之和為 \(V=\cfrac{1}{3} \pi \times(\sqrt{3})^{2} \times(1+3)=4 \pi\)， 故選: \(B\).