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問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？
簡單點說就是，存在一個數x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求這個數。上面給出了解法。再明白這個解法的原理之前，需要先知道一下兩個定理。
定理1：兩個數相加，如果存在一個加數，不能被整數a整除，那么它們的和，就不能被整數a整除。
定理2：兩數不能整除，若除數擴大（或縮小）了幾倍，而被除數不變，則其商和余數也同時擴大（或縮小）相同的倍數（余數必小於除數）。
以上兩個定理隨便個例子即可證明！
現給出求解該問題的具體步驟：
1、求出最小公倍數（3、5、7互質）
lcm=3*5*7=105
2、求各個數所對應的基礎數
（1）105÷3=35
35÷3=11......2 //基礎數35
（2）105÷5=21
21÷5=4......1
定理2把1擴大3倍得到3，那么被除數也擴大3倍，得到21*3=63//基礎數63
3、105÷7=15
15÷7=2......1
定理2把1擴大2倍得到2，那么被除數也擴大2倍，得到15*2=30//基礎數30
把得到的基礎數加和（注意：基礎數不一定就是正數）
35+63+30=128
4、減去最小公倍數lcm（在比最小公倍數大的情況下）
x=128-105=23
那么滿足題意得最小的數就是23了。一共有四個步驟。下面詳細解釋每一步的原因。
（1）最小公倍數就不解釋了，跳過（記住，這里討論的都是兩兩互質的情況）
（2）觀察求每個數對應的基礎數時候的步驟，比如第一個。105÷3=35。顯然這個35是除了當前這個數不能整除以外都能夠被其他數整除，就是其他數的最小公倍數。相當於找到了最小的起始值，用它去除以3發現正好余2。那么這個基礎數就是35。記住35的特征，可以整除其他數但是不能被3整除，並且余數是2。體現的還不夠明顯，再看下5對應的基礎數。21是其他數的最小公倍數，但是不能被5整除，用21除以5得到的余數是1，而要求的數除以5應該是余1的。所以余數被擴大，就得到了相應的基礎數63。記住這個數的特征，可以被其他數整除但是被5除應該余三。同理，我們得到了第三個基礎數23，那么他的特征就是：可以被其他數整除，但是不能被7整除，並且余數為2。
（3）第三步基礎數加和，為什么要這樣做呢？利用就是上面提到的定理1。
35+63+30=128。對於3來說，可以把63+30的和看作一個整體，應該他們都可以被3整除。看着上面寫出的三個數的特征，運用定理1來說，就是在35的基礎上加上一個可以被3整除的倍數，那么得到的結果依然還是滿足原先的性質的，就是128除以同樣還是余2的。同理，對於5還說，這個數被除之后會剩余3；對於7來說，被除之后剩余2。所以說，我們當前得到的這個數是滿足題目要求的一個數。但是這個數是不是最小的，那就不一定了。
（4）應該不能確定是不是最小的數，這個時候就要用到他們的最小公倍數了。最小公倍數顧名思義，一定是一個同時被幾個數整除的最小的一個數，所以減去它剩余下來的余數還是符合題意要求的。當然也同樣可以運用定理1來解釋，只不過是加法變成了減法，道理還是一樣的。當然具體要不要剪還是要看和lcm的大小關系的。
稍微的總結一下：就是已知m1,m2,m3是兩兩互質的正整數，求最小的正整數x，使它被m1,m2,m3除所得的余數分別是c1,c2,c3。孫子定理的思想便是先分別求出被其中數mi整除余1而被另外兩個數整除的數Mi(i=1,2,3)，則所求數之一的便是c1M1+c2M2+c3M3。由此我們可以得到n個兩兩互質數的情況。證明上面已經一步一步給出。
那么，到此為止基本的中國剩余定理的內容我們以及了解了，包括解答方法。那么如何編碼呢？按照上面這個思路去編碼，其實並不難。一共分為四大步。但是，大多數人的困惑在於如何求取基礎數。這里呢，提供兩種方法：
（1）第一種就是一直遞增，直到找到。例如：3的基礎數，35是其他數的最小公倍數。那么就從35開始，一直自增，直到余數為2，便停止（利用while循環）。
（2）第二種方法就是利用乘法逆元來求解基礎數：
以3為例，我們要怎么在5和7的倍數中找出一個數滿足%3=2（2、3條件類似）
用到我們最開始列出的定理二！是不是可以轉化成在5和7的倍數中找到一個數滿足%3=1就可以了呢？然后我們再*2就可以了，為什么會想要讓余數為1呢？因為這個跟逆元的求法幾乎一樣哇。
假設屬於3的基礎數為j，j的逆元為x，我們要使j*x%3==1成立，用費馬小定理或擴展歐幾里得解得逆元x,
則滿足%3=2的這個數就是j*x*2。
下面給出模板：
ll x,y; ll a[100005],b[100005];//a[i]是余數，b[i]是模數 void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) //拓展歐幾里得 { if(!b) x = 1, y = 0; else { exgcd(b, a % b, y, x); y -= x * (a / b); } } ll china() { ll ans=0,lcm=1,x,y; for(ll i=1;i<=k;++i) //因為b[i]中的數字都是互質的，所以lcm是乘積 lcm*=b[i]; for(ll i=1;i<=k;++i) { ll tp=lcm/b[i];//tp是偽基礎數 exgcd(tp,b[i],x,y);//求逆元 x=(x%b[i]+b[i])%b[i];//得到x的最小正整數解 ans=(ans+tp*x*a[i])%lcm;//得到真正的基礎數，再求和 } return (ans+lcm)%lcm; }
模板題：https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/10692721.html