中國剩余定理

暑假集訓的時候就應該來寫這篇博客的，當時聽的有些糊塗，不過該來的還是得來。。。

中國剩余定理介紹

在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3余2），五五數之剩三（除以5余3），七七數之剩二（除以7余2），問物幾何？”這個問題稱為“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱為“中國剩余定理”。

在《孫子歌訣》中給出了解決這個問題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知。很是朗朗上口，但這是什么意思呢？

具體解法分三步：

找出三個數：

1.從3和5的公倍數中找出被7除余1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除余1 的最小數21，最后從5和7的公倍數中找出除3余1的最小數70。

2.用15乘以2（2為最終結果除以7的余數），用21乘以3（3為最終結果除以5的余數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的余數），然后把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

3.用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到余數23，即233%105=23。這個余數23就是符合條件的最小數。

就這么簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什么基本的數學依據嗎？

中國剩余定理分析

我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推導出這個解法的。

     首先，我們假設n1是滿足除以3余2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的一個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5余3的一個數，n3是滿足除以7余2的一個數。

     有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3余2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3余2？

     這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k為非零整數)，換句話說，如果一個除法運算的余數為c，那么被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，余數不變。這個是很好證明的。

     以此定理為依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍數，那么n1+n2+n3的和就滿足除以3余2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推導出以下三點：

1. 為使n1+n2+n3的和滿足除以3余2，n2和n3必須是3的倍數。
2. 為使n1+n2+n3的和滿足除以5余3，n1和n3必須是5的倍數。
3. 為使n1+n2+n3的和滿足除以7余2，n1和n2必須是7的倍數。

    因此，為使n1+n2+n3的和作為“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

1. n1除以3余2，且是5和7的公倍數。
2. n2除以5余3，且是3和7的公倍數。
3. n3除以7余2，且是3和5的公倍數。

    所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3余2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5余3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7余2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了一個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3余2的數，而是先找一個除以3余1的數，再乘以2。

    這里又有一個數學公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的余數為c，那么被除數的k倍與除數相除的余數為kc。展開式中已證明。

    最后，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。

 經過分析發現，中國剩余定理的孫子解法並沒有什么高深的技巧，就是以下兩個基本數學定理的靈活運用：

1. 如果 a%b=c , 則有 (a+kb)%b=c (k為非零整數)。
2. 如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k為大於零的整數)。

數學分析

用現代數學的語言來說明的話，中國剩余定理給出了以下的一元線性同余方程組：

中國剩余定理說明：假設整數m₁, m₂, ... , m_n兩兩互質，則對任意的整數：a₁, a₂, ... , a_n，方程組有解，並且通解可以用如下方式構造得到：

1. 設是整數m₁, m₂, ... , m_n的乘積，並設是除了m_i以外的n - 1個整數的乘積。
2. 設為模的數論倒數：
3. 方程組的通解形式為： 在模的意義下，方程組只有一個解：

void exgcd(int a1,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a1%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a1/b)*y;
}
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
    int M=1,ans=0,t,x,y;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        M*=m[i];///M為除數乘積
    }
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        t=M/m[i];///除了mi以外的n-1個整數乘積
        exgcd(t,m[i],x,y);///求逆元，由擴展歐幾里得轉換成t*ti+m[i]*y=1來求ti
        ans=(ans+a[i]*x*t)%M;
    }
    return (ans+M)%M;
}

 

一個正整數K，給出K Mod 一些質數的結果，求符合條件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合條件的最小的K = 23。

Input

第1行：1個數N表示后面輸入的質數及模的數量。（2 <= N <= 10) 
第2 - N + 1行，每行2個數P和M，中間用空格分隔，P是質數，M是K % P的結果。（2 <= P <= 100, 0 <= K < P)Output輸出符合條件的最小的K。數據中所有K均小於10^9。Sample Input

3
2 1
3 2
5 3

Sample Output

23

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long int
using namespace std;
void exgcd(ll a1,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll t;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a1%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a1/b)*y;
}
ll CRT(ll a[],ll m[],ll n)
{
    ll M=1,ans=0,t,x,y,i;
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        M*=m[i];
    }
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        t=M/m[i];
        exgcd(t,m[i],x,y);
        ans=(ans+a[i]*x*t)%M;
    }
    return (ans+M)%M;
}

int main()
{
    ll n,i,ans;
    ll a[10],m[10];
    scanf("%lld",&n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
    }
    ans=CRT(a,m,n);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}