中國剩余定理

目錄

• 寫在前面
• 正文
  • 中國剩余定理公式：
  • 中國剩余定理拓展：
  • 大數翻倍法

寫在前面

Q：中國剩余定理很難嗎？

A：就是個求解同余方程組的東東

(話說 \(OI\) 只要能理解應用就好吧，證明是不是可以先放一放)因為我太菜了

Update 2021/04/11：終於理解中國剩余定理，還是tcl

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正文

《孫子算經》中有這么一道題：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”

翻譯一下就是：已知一個正整數模3余2，模5余3，模7余2，求這個數是幾？

寫成數學語言，就是求解同余方程組

\[\begin{aligned} & x \equiv 2 \pmod 3 \\ & x \equiv 3 \pmod 5 \\ & x \equiv 5 \pmod 7 \\ \end{aligned} \]

乍一看，這不很簡單蠻，隨便帶近兩個數試試不就行了

但是你現在可以直接觀察並且數據小，如果數據大了呢，同余方程組不只是三個呢？

這就需要我們的“中國剩余定理”登場了

中國剩余定理公式：

設正整數 \(m_1, m_2, m_3, ···,m_k\) 兩兩互素，則同余方程組

\[\begin{aligned} & x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ & x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ & x \equiv a_3 \pmod {m_3} \\ & ··· \\ & x \equiv a_k \pmod {m_k} \end{aligned} \]

有整數解。並且在模 \(M = m_1 \times m_2 \times ··· \times m_k\) 下解是唯一的，解為

\[x \equiv (a_1 M_1 M_1^{-1} + a_2 M_2 M_2^{-1} + ··· + a_k M_k M_k^{-1}) mod \ \ M \]

其中 \(M_i = M / m_i\) ， 而 \(M_i^{-1}\) 為 \(M_i\) 模 \(m_i\) 的逆元

中國剩余定理拓展：

（求解模數不互質情況下的同余方程組）

普通中國剩余定理要求所有的 \(m_i\) 互素，那么如果不互素呢？怎么求解同余方程組？

這種情況可以考慮兩兩合並，假設合並如下兩個方程：

\[x = a_1 + m_1 x_1 \]

\[x = a_2 + m_2 x_2 \]

那么得到：

\[a_1 + m_1 x_1 = a_2 + m_2 x_2 \Rightarrow m_1 x_1 + m_2 x_2 = a_2 - a_1\]

我們需要求出一個最小的 \(x\) 使它滿足：

\[x = a_1 + m_1 x_1 = a_2 + m_2 x_2 \]

那么 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的值要僅可能的小，於是我們又擴展歐幾里得算法求出 \(x_1\) 的最小整數解，將它代回 \(a_1 + m_1 x_1\) ，得到 \(x\) 的一個特解 \(x^{,}\) ，當然也是最小整數解。

所以 \(x\) 的通解一定是 \(x^{,}\) 加上 \(lcm(m_1,m_2) \times k\) 這樣才能保證 \(x\) 模 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的余數是 \(a_1\) 和 \(a_2\) 。由此，我們把這個 \(x^{,}\) 當做新的方程的余數，把 \(lcm(m_1,m_2) \times k\) 當做新的方程的模數。（這一段是關鍵）

合並完成：

\[x \equiv x^{,} \pmod {lcm(m_1,m_2)} \]

大數翻倍法

復雜度有保證，碼量短小精湛！

詳見這篇博文

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想學中國剩余定理很久了，第一次聽說是在夏令營的時候，看到同宿舍某大佬的課程表上有這個名詞，感覺挺高大上的，前幾天忙着期中考咕咕咕了，如今終於有機會更一篇關於它的筆記了，開心>-<!