例題：【poj1006】 Biorhythms

問題描述

     人自出生起就有體力，情感和智力三個生理周期，分別為23，28和33天。一個周期內有一天為峰值，在這一天，人在對應的方面（體力，情感或智力）表現最好。通常這三個周期的峰值不會是同一天。現在給出三個日期，分別對應於體力，情感，智力出現峰值的日期。然后再給出一個起始日期，要求從這一天開始，算出最少再過多少天后三個峰值同時出現。

問題分析

      首先我們要知道，任意兩個峰值之間一定相距整數倍的周期。假設一年的第N天達到峰值，則下次達到峰值的時間為N+Tk(T是周期，k是任意正整數)。所以，三個峰值同時出現的那一天(S)應滿足

      S = N1 + T1*k1 = N2 + T2*k2 = N3 + T3*k3

N1,N2,N3分別為為體力，情感，智力出現峰值的日期， T1，T2,T3分別為體力，情感，智力周期。 我們需要求出k1,k2,k3三個非負整數使上面的等式成立。

     想直接求出k1,k2,k3貌似很難，但是我們的目的是求出S， 可以考慮從結果逆推。根據上面的等式，S滿足三個要求：除以T1余數為N1，除以T2余數為N2，除以T3余數為N3。這樣我們就把問題轉化為求一個最小數，該數除以T1余N1，除以T2余N2,除以T3余N3。這就是著名的中國剩余定理，我們的老祖宗在幾千年前已經對這個問題想出了一個精妙的解法。依據此解法的算法，時間復雜度可達到O(1)。下面就介紹一下中國剩余定理。

中國剩余定理介紹

     在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3余2），五五數之剩三（除以5余3），七七數之剩二（除以7余2），問物幾何？”這個問題稱為“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱為“中國剩余定理”。具體解法分三步：

1. 找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除余1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除余1 的最小數21，最后從5和7的公倍數中找出除3余1的最小數70。
2. 用15乘以2（2為最終結果除以7的余數），用21乘以3（3為最終結果除以5的余數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的余數），然后把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3. 用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到余數23，即233%105=23。這個余數23就是符合條件的最小數。

     就這么簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什么基本的數學依據嗎？

中國剩余定理分析

     我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推導出這個解法的。

     首先，我們假設n1是滿足除以3余2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的一個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5余3的一個數，n3是滿足除以7余2的一個數。

     有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3余2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3余2？

     這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k為非零整數)，換句話說，如果一個除法運算的余數為c，那么被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，余數不變。這個是很好證明的。

     以此定理為依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍數，那么n1+n2+n3的和就滿足除以3余2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推導出以下三點：

1. 為使n1+n2+n3的和滿足除以3余2，n2和n3必須是3的倍數。
2. 為使n1+n2+n3的和滿足除以5余3，n1和n3必須是5的倍數。
3. 為使n1+n2+n3的和滿足除以7余2，n1和n2必須是7的倍數。

    因此，為使n1+n2+n3的和作為“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

1. n1除以3余2，且是5和7的公倍數。
2. n2除以5余3，且是3和7的公倍數。
3. n3除以7余2，且是3和5的公倍數。

    所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3余2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5余3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7余2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了一個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3余2的數，而是先找一個除以3余1的數，再乘以2。

    這里又有一個數學公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的余數為c，那么被除數的k倍與除數相除的余數為kc。展開式中已證明。

    最后，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。

總結

   經過分析發現，中國剩余定理的孫子解法並沒有什么高深的技巧，就是以下兩個基本數學定理的靈活運用：

1. 如果 a%b=c , 則有 (a+kb)%b=c (k為非零整數)。
2. 如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k為大於零的整數）

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